Segno della funzione cos^2 (x) - cos(x)

[piero87]

Ciao a tutti Mi sono appena iscritto al forum, vengo subito a chiedevi aiuto.


Ho un problema con lo studio del segno di questa funzione:
\[cos^{2}(x)-cos(x)\]

devo studiare la funzione nell'intervallo tra - pi e + pi.
ho fatto in questo modo:

\[cos^{2}(x)-cos(x) \geq 0\]

t= cos(x)
t^2-t >=0 le due radici sono 0 e 1 t minore o uguale a zero e t maggiore o uguale a 1.

ora sostituendo in cos(x) ottengo che il cos(x) è minore o uguale a zero negli intervalli
\[-\pi < x\leq -\frac{\pi }{2}; \frac{\pi }2{}\leq x< \pi\]

il cos(x) invece non può mai essere maggiore di 1, ma soltanto uguale a 1, nel punto 0 (quindi la farò una linea tratteggiata )

ora mettendo in colonna i vari risultati e facendo la somma dei segni ottengo:
la funzione è positiva da - pi a -pi/2 e da pi/2 a pi.

mi potete dire dove sbaglio?
ciao ciao Piero

[maurizio.schirinzi]

Ciao, non mi sembra ci siano errori nella tua soluzione finale!

La funzione è positiva per $ - \pi < x < - \frac{\pi }{2} \vee \frac{\pi }{2} < x < \pi $ e negativa per $ - \frac{\pi }{2} < x < \frac{\pi }{2}$ e si annulla per $x = - \frac{\pi }{2};0;\frac{\pi }{2}$

L'unico consiglio è, nel caso di questa funzione cosi semplice, conviene fattorizzarla raccogliendo il coseno e studiando i segni direttamente dei due fattori senza usare la tecnica di sostituzione con t:
\[f(x) = {\cos ^2}(x) - \cos (x) = \cos (x)(\cos (x) - 1) \ge 0\]

Saluti.

[piero87]

Grazie per il consiglio ! effettivamente mi verrebbe più semplice.

Io ho dei dubbi nell'esercizio che ho postato perché guardando il grafico

http://www.xlogx.com/it/studio-funzione/a63137a8028015c130cdcfbe79e25b64bddcb36b/#solution

vedo che la funzione è negativa subito prima di 0 e subito dopo. cioè proprio segni opposti a quelli ottenuti da me.

Ancora grazie mille !!

[piero87]

scusami ancora.. forse ho capito l'errore..

nello studio di \[cos(x)\geq 1\] il coseno non può essere mai maggiore di 1, ma al massimo uguale a 1, ed è uguale a 1 nel punto zero. (come mi hai scritto tu)

Io quando ho fatto la somma dei segni nel cos(x) >1 ho messo una linea tratteggiata e una x in zero. FORSE non dovevo mettere nessuna linea visto che la funzione non esiste proprio per x>1??

saluti
piero
ciao ciao

[maurizio.schirinzi]

No !! ... Se guardi bene i valori "numerici" della x sul grafico vedrai che per $- \frac{\pi }{2} < x < \frac{\pi }{2}$ la funzione è negativa.

Ricorda infatti che \[x = \frac{\pi }{2} \simeq \frac{{3.14}}{2} \simeq 1,57\]
Saluti.

[piero87]

si mi viene negativo anche a me. Però quando vado a sommare con la linea tratteggiata (data da cos(x)>1) mi viene meno per meno=+

[maurizio.schirinzi]

No! .. il cos(x) per $ - \frac{\pi }{2} < x < \frac{\pi }{2}$ è positivo !! ...

Prova a rifare bene lo schema del segno del cos(x) e "moltiplicalo" (brutto quando dici "sommare"!) con quello tutto negativo di cos(x)-1 !!

Ciao.

[piero87]

Certo!!! che stupido
grazie mille per la pazienza:)
Ci sentiamo ai prossimi dubbi.. ahahha
ciao ciao