Integrale con la formula di Eulero

[ascaplboh]

Salve! Potresti spiegarmi come si usa la formula di eulero per il calcolo di questo integrale:

\[\int cos^{6}\vartheta d\vartheta\]

[maurizio.schirinzi]

Ciao, non c'è bisogno di ricorrere alla formula di Eulero !! ... E' sufficiente una doppia integrazione per parti ciclica. Ecco i passaggi:
\[\int {{{\cos }^6}(x)dx = } \int {\cos (x){{\cos }^5}(x)dx} = \]
\[ = sen(x){\cos ^5}(x)] - \int {sen(x)5{{\cos }^4}(x)( - sen(x))dx} = \]
\[ = sen(x){\cos ^5}(x)] + 5\int {se{n^2}(x){{\cos }^4}(x)dx} = \]
\[ = sen(x){\cos ^5}(x)] + 5\int {(1 - {{\cos }^2}(x)){{\cos }^4}(x)dx} = \]
\[ = sen(x){\cos ^5}(x)] + 5\int {({{\cos }^4}(x) - {{\cos }^6}(x))dx} = \]
\[ = sen(x){\cos ^5}(x)] + 5\int {{{\cos }^4}(x)dx} - 5\int {{{\cos }^6}(x)dx} \]
a questo punto imposti l'uguaglianza ciclica:
\[\int {{{\cos }^6}(x)dx = } \,sen(x){\cos ^5}(x)] + 5\int {{{\cos }^4}(x)dx} - 5\int {{{\cos }^6}(x)dx} \]
\[6\int {{{\cos }^6}(x)dx = } \,sen(x){\cos ^5}(x)] + 5\int {{{\cos }^4}(x)dx} \]
\[\int {{{\cos }^6}(x)dx = } \,\frac{1}{6}[sen(x){\cos ^5}(x)] + 5\int {{{\cos }^4}(x)dx} ]\]
quindi resta ora da calcolare l'ultimo integrale con lo stesso procedimento per parti ciclico:
\[\int {{{\cos }^4}(x)dx} = \int {\cos (x){{\cos }^3}(x)dx} = \;...\]
Saluti.

[ascaplboh]

Con la formula di Eulero sembra più veloce e forse risparmio pure tempo all'esame

[maurizio.schirinzi]

Si è vero! ... ma la formula di Eulero comporta un passaggio ai numeri complessi che in un contesto di Analisi 1 non sono previsti!
Con l'integrazione per parti si riesce a risolvere quell'integrale anche senza l'uso dei numeri complessi e la relative formule di Eulero.

Se il tuo esame è di Analisi 2 o comunque prevede l'uso dei numeri complessi allora lo svolgimento andrebbe impostato cosi:
\[\int {{{\cos }^6}(x)dx = } \int {{{(\frac{{{e^{ix}} + {e^{ - ix}}}}{2})}^6}dx} = \frac{1}{6}\int {{{({e^{ix}} + {e^{ - ix}})}^6}dx} = \;...\]
[EDIT] Correzione errore!
\[\int {{{\cos }^6}(x)dx = } \int {{{(\frac{{{e^{ix}} + {e^{ - ix}}}}{2})}^6}dx} = \frac{1}{{{2^6}}}\int {{{({e^{ix}} + {e^{ - ix}})}^6}dx} = \;...\]
che comporta comunque lo sviluppo della sesta potenza di un binomio e poi l'integrazione degli esponenziali complessi con la nota formula di integrazione immediata della potenza; occorre poi successivamente riconvertire la primitiva complessa ottenuta mediante le formule inverse di Eulero per esprimere la primitiva in formato reale con seno e coseno!

[ascaplboh]

Ok grazie!! Ma fuori dall'integrale è

\[\frac{1}{6 }

o

\frac{1}{2^{6}}\] ?

[maurizio.schirinzi]

Si scusa! ... è $\frac{1}{{{2^6}}}$ !! ... provvedo subito a correggere evidenziando l'errore nel mio post precedente.