Integrale per parti

[ascaplboh]

Ciao! Mi aiuti a capire dove sbaglio?

\[\int_{0}^{1}(1-x^{2})sin(2k\pi x) dx\]

Calcolo prima l'indefinito:
\[2\int sin(2k\pi x)dx - 2\int x^{2}sin(2k\pi x)dx\]=

\[-\frac{cos(2k\pi x)}{k\pi } - 2\left [ \frac{-x^{2}cos(2k\pi x)}{2k\pi } + \int \frac{xcos(2k\pi x)}{k\pi }dx \right ]\]=



\[\frac{-cos(2k\pi x)}{k\pi } + \frac{x^{2}cos(2k\pi x)}{k\pi } - \frac{1}{k\pi }\left [ \frac{xsin(2k\pi x)}{k\pi } -\frac{1}{k\pi }\int sin(2k\pi x)dx\ \right ]\]

\[\left [ -\frac{cos(2k\pi x)}{k\pi } + \frac{x^{2}cos(2k\pi x)}{k\pi } - \frac{xsin(2k\pi x)}{k^{2}\pi ^{2} } - \frac{cos(2k\pi x)}{k^{3}\pi ^{3}} \right ]\]


Questa poi è da incrementare tra 0 e 1, e dovrei ottenere \[\frac{1}{k\pi }\] ma non mi esce.

[maurizio.schirinzi]

Ciao, la primitiva è giusta! ... ecco i passaggi di integrazione tra gli estremi:
\[\left[ { - \frac{{cos(2k\pi x)}}{{k\pi }} + \frac{{{x^2}cos(2k\pi x)}}{{k\pi }} - \frac{{x\,sin(2k\pi x)}}{{{k^2}{\pi ^2}}} - \frac{{cos(2k\pi x)}}{{{k^3}{\pi ^3}}}} \right]_0^1 = \]
\[ = \left[ {( - \frac{{cos(2k\pi )}}{{k\pi }} + \frac{{1\,cos(2k\pi )}}{{k\pi }} - \frac{{1\,sin(2k\pi )}}{{{k^2}{\pi ^2}}} - \frac{{cos(2k\pi )}}{{{k^3}{\pi ^3}}}) - } \right.\]
\[\left. { - ( - \frac{{cos(0)}}{{k\pi }} + \frac{{0\,cos(0)}}{{k\pi }} - \frac{{0\,sin(0)}}{{{k^2}{\pi ^2}}} - \frac{{cos(0)}}{{{k^3}{\pi ^3}}})} \right] = \]
\[ = \left[ {\left. {( - \frac{1}{{k\pi }} + \frac{1}{{k\pi }} - \frac{0}{{{k^2}{\pi ^2}}} - \frac{1}{{{k^3}{\pi ^3}}}) - ( - \frac{1}{{k\pi }} + \frac{0}{{k\pi }} - \frac{0}{{{k^2}{\pi ^2}}} - \frac{1}{{{k^3}{\pi ^3}}})} \right]} \right. = \]
\[ = \left[ {\left. {( - \frac{1}{{{k^3}{\pi ^3}}}) - ( - \frac{1}{{k\pi }} - \frac{1}{{{k^3}{\pi ^3}}})} \right]} \right. = \left[ {\left. { - \frac{1}{{{k^3}{\pi ^3}}} + \frac{1}{{k\pi }} + \frac{1}{{{k^3}{\pi ^3}}}} \right]} \right. = \frac{1}{{k\pi }}\]
Saluti.