Ciao,
\[f(x) = \frac{{\sin (x)}}{{\sin (x) - \cos (x)}}\]
Riguardo alla periodicità è ovvio che in questo caso tutte le funzioni goniometriche presenti dipendono dalla stessa espressione della x (cioè x stesso) ed essendo presenti solo seno e coseno la periodicità sarà quella propria di queste funzioni cioè $2\pi $ !!
Per il calcolo dei limiti destro e sinistro nel punto buco ${\frac{\pi }{4}}$, raccogliamo e semplifichiamo un seno facendo apparire a denominatore la cotangente, per studiare più comodamente il segno del denominatore; si ha:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{\sin (x)}}{{\sin (x) - \cos (x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{\sin (x)}}{{\sin (x)(1 - \frac{{\cos (x)}}{{\sin (x)}})}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{1}{{1 - ctg(x)}} = \left\{ \begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{\pi }{4}}^ + }} \frac{1}{{1 - ctg(x)}} = \frac{1}{{1 - {1^ - }}} = \frac{1}{{{0^ + }}} = + \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{\pi }{4}}^ - }} \frac{1}{{1 - ctg(x)}} = \frac{1}{{1 - {1^ + }}} = \frac{1}{{{0^ - }}} = - \infty
\end{array} \right.\]
dove la tendenza a 1+ o 1- della cotangente si ricava ragionando direttamente sulla circonferenza goniometrica nell'intorno di ${\frac{\pi }{4}}$ oppure studiando il segno del fattore ${1 - ctg(x)}$ a denominatore impostando una disequazione goniometrica.
Saluti.
