Equazione differenziale del secondo ordine non lineare

[ascaplboh]

Ciao! Mi sono bloccato nella risoluzione di questo problema di Cauchy:

\[\begin{Bmatrix} yy'' + (y')^{2} =1 & \\ y(0)=1 , y'(0)=1 & \end{Bmatrix}\]

Pongo:
\[z(y) = y' y''=z'(y) * z(y)\]


Allora diventa:

\[\begin{Bmatrix} yz(y)*z'(y) + z^{2}(y)=1 & \\ z(1)=1 & \end{Bmatrix}\]


Diviso per "yx" e la considero come un'equazione di Bernoulli con \[\alpha = -1\], ponendo:
\[w(y) = z^{2} , w'(y) = 2z*z'\] si ottiene:


\[w'(y) + \frac{2w(y)}{y(x)} = \frac{2}{y(x)}\]


La risolvo applicando la fomula risolutiva delle equazioni lineari del primo ordine e ottengo:



\[w(y) = \frac{c}{y^{2}} + \frac{1}{2}\]



Ora come continuo? Mi sono perso

[maurizio.schirinzi]

Ciao, ma non bisogna arrivare prima a scrivere l'integrale generale rispetto a y(x) con le due costanti e poi imporre le condizioni al contorno di Cauchy sulla y(x) per trovare le costanti e dunque l'integrale particolare risolvente il problema di Cauchy?

[ascaplboh]

Potresti scrivermi qualche cenno di risoluzione?

[maurizio.schirinzi]

Intendevo dire che, con il tuo procedimento, una volta trovata la w(y) dovresti risalire alla z(y) (essendo w=z^2 dalle posizioni che hai fatto) per poi applicare le condizioni di Cauchy che hai riscritto in modo equivalente rispetto a z, cioè z(1)=1 ... per il resto il tuo procedimento mi sembra valido.

A dire la verità l'unico passaggio che non mi sembra chiaro è questo:
\[{\rm{z(y) = y' y'' = z'(y) * z(y)}}\]
potresti precisarlo un po meglio? ...

[ascaplboh]

Ho posto

\[z(y) =y'\]

Dopo ho fatto la derivata seconda:

y'' = z'(y) * z(y)

[ascaplboh]

Giusto per chiudere questo post , aggiungo che:

non è necessario separare le variabili all'inizio perchè l'espressione a destra 1-z^{2} vale zero nel punto iniziale. Quindi z(y) =1 è la soluzione stazionaria del P.d.C.

Quindi la soluzione è :
y(x)= x+1

[maurizio.schirinzi]

Ottimo!... complimenti!! ...