Area della seguente regione di piano

[Matematica95]

Salve a tutti,
come è possibile calcolare l'area della seguente regione di piano?

$D=$ {${{(x,y) \in \mathbb{R^2} : y>log(x + 2), x^2 + y^2< 1, x<0}}$ }


Grazie mille in anticipo!

[maurizio.schirinzi]

Ciao, basta calcolare l'area del cerchio di raggio r=1 (banale!) : \[\pi {r^2} = \pi \] e poi dividerla per 4 per ottenere l'area del quarto di cerchio del 2° quadrante.

Disegnando poi la funzione y=ln(x+2) sullo stesso piano cartesiano con il cerchio di raggio 1 ci si rende conto che l'area richiesta è data dalla differenza tra l'area del quarto di cerchio suddetto (nel 2 quadrante) e l'area sottesa dal grafico del logaritmo e dagli assi cartesiani in quella parte di cerchio, e cioè l'integrale del logaritmo tra -1 e 0:
\[\int\limits_{ - 1}^0 {\ln (x + 2)dx} \]
Saluti.

[Matematica95]

Grazie per la riposta, ma ho ancora perplessità...
Perché c'è scritto $x^2 + y^2 <1$ ?... Come si interpreta questa scrittura?
E come interpreto il fatto che $y>log(x + 2)$ ?...
E l'informazione $x<0$?
Grazie mille in anticipo!

[maurizio.schirinzi]

Se l'equazione ${x^2} + {y^2} = 1$ rappresenta i punti sulla circonferenza di raggio 1, la disequazione ${x^2} + {y^2} < 1$ rappresenta tutti i punti interni al cerchio; mentre ${x^2} + {y^2} \le 1$ i punti del cerchio compreso il bordo (andavano dunque messi gli uguali nella definizione del tuo insieme visto che devi calcolare l'area di un compatto cioè un insieme chiuso e limitato!).

Analogamente $x \le 0$ sono i punti del semipiano a sinistra dell'asse y (cioè 2° e 3° quadrante) del piano cartesiano.

Infine $y \ge \ln (x + 2)$ sono i punti del piano che sono al di sopra e sopra la curva del logaritmo, per ogni valore della x lungo tutto il suo grafico.

L'intersezione di queste 3 zone rappresenta il tuo insieme compatto di cui calcolare l'area che andava dunque scritto cosi:
\[A = \{ (x,y) \in {R^2}:y \ge log(x + 2)\;,\;{x^2} + {y^2} \le 1\;,\;x \le 0\} \]
Saluti.

[Matematica95]

La ringrazio,
ora è tutto più chiaro... Operazione preliminare allo svolgimento che lei mi ha suggerito è come sempre la verifica delle intersezioni che intercorrono tra le due curve (la circonferenza e la curva logaritmica) è giusto? Perché senza farle non potrei sapere che è sufficiente considerare il settore circolare contenuto nel 2 quadrante, giusto?

[maurizio.schirinzi]

Si !! ... giusto!