Ordine di un infinitesimo

[piero87]

Ciao a tutti.
Mi scuso se ho sbagliato sezione dove postare la domanda, ma non sapevo dove metterla.

Devo calcolare l'ordine di infinitesimo della funzione \[f(x)=\sqrt{x^{2}-1}\] per \[x\rightarrow 1\]

io farei così\[\lim_{x\rightarrow 1} \frac{f(x)}{g(x)}\] con g(x) infinito campione.

il mio problema è che non saprei con quale criterio scegliere l'infinito campione.

mi date una mano?
grazie mille

[maurizio.schirinzi]

Ciao in generale l'infinitesimo campione per $x \to {x_0}$ sarà ${(x - {x_0})^\alpha }$ cioè un oggetto che tende a zero con un certo grado $\alpha$ il cui valore dopo il calcolo del limite ti darà l'ordine dell'infinitesimo; nel tuo caso sarà:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{{{{(x - 1)}^\alpha }}} = l\]
e il tuo obbiettivo sarà trovare $\alpha$ in modo che il risultato del limite l sia un valore finito diverso da zero! ... quel valore di $\alpha$ sarà l'ordine dell'infinitesimo della funzione.

Saluti.


PS: Poichè la categoria "Calcolo Ordini di Infinitesimi e Infiniti" non era ancora stata prevista, lo User Admin provvederà a crearla e a spostare questo topic nella giusta posizione del forum.

[piero87]

come infinito campione posso mettere direttamente \[(x^{2}-1)^\alpha\]

e scegliere alfa=1/2 ?

[maurizio.schirinzi]

No! ... l'infinitesimo campione deve essere ${(x - {x_0})^\alpha }$ cioè nel tuo caso ${(x - 1)^\alpha }$ !!

$\alpha$ va poi determinato calcolando e studiando il limite parametrico al variare di $\alpha$ per trovare poi il valore di $\alpha$ che fa si che il limite dia come risultato un valore finito diverso da zero!

Saluti.

[piero87]

ah ok , mi è un pò più chiaro. mi potresti far vedere un esempio di come calcolare \[\alpha\]? perchè io vado a tentativi.

grazie

[maurizio.schirinzi]

Ciao, se consideriamo in generale alfa un numero appartenente a R possiamo limitarci a considerare il limite solo destro per x --> 1+ (per ovvi motivi di campo di esistenza della base dell'esponenziale a denominatore); ciò non compromette i nostri ragionamenti perchè a noi interessa trovare l'ordine dell'infinitesimo anche solo unilaterale; dunque studiando il limite parametrico si ha:
\[\alpha \in R\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{{{{(x - 1)}^\alpha }}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt {\frac{{{x^2} - 1}}{{{{(x - 1)}^{2\alpha }}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt {\frac{{(x - 1)(x + 1)}}{{{{(x - 1)}^{2\alpha }}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt {\frac{{(x + 1)}}{{{{(x - 1)}^{2\alpha - 1}}}}} = \]
\[ = \left\{ \begin{array}{l}
2\alpha - 1 > 0\;\;\; \to \;\;\;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt {\frac{{(x + 1)}}{{{{(x - 1)}^{2\alpha - 1}}}}} = \sqrt {\frac{2}{{{0^ + }}}} = + \infty \\
2\alpha - 1 < 0\;\;\; \to \;\;\;\;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt {\frac{{(x + 1)}}{{{{(x - 1)}^{2\alpha - 1}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt {{{(x - 1)}^{ - (2\alpha - 1)}}(x + 1)} = 0\\
2\alpha - 1 = 0\;\;\; \to \;\;\;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt {\frac{{(x + 1)}}{{{{(x - 1)}^{2\alpha - 1}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt {\frac{{(x + 1)}}{{{{(x - 1)}^0}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt {\frac{{(x + 1)}}{1}} = \sqrt 2
\end{array} \right.\]
il caso che a noi interessa è quello dove il limite è finito e diverso da zero, dunque:
\[2\alpha - 1 = 0\;\;\; \to \;\;\;\alpha = \frac{1}{2}\] sarà l'ordine dell'infinitesimo cercato!

Saluti.