Integrale di funzione razionale fratta con decomposizione in fratti molteplici

[Matematica95]

Salve a tutti vorrei un suggerimento sulla risoluzione di questo integrale:

$\int \frac{1}{(x^2 - 1)^2}dx$

Grazie a tutti in anticipo...

[maurizio.schirinzi]

Ciao, l'integrale è quello di una classica funzione razionale fratta nella casistica con grado a numeratore più basso del denominatore e a denominatore un polinomio di quarto grado decomponibile in 2 fattori a radici reali molteplici con molteplicità 2.

Va quindi gestito decomponendo la frazione con le solite tecniche "meccaniche" della relativa casistica per decomposizione in fratti molteplici:
\[\int {\frac{1}{{{{({x^2} - 1)}^2}}}} \,dx = \int {\frac{1}{{{{(x - 1)}^2}{{(x + 1)}^2}}}} \,dx\]
\[\frac{1}{{{{(x - 1)}^2}{{(x + 1)}^2}}} = \frac{a}{{x - 1}} + \frac{b}{{{{(x - 1)}^2}}} + \frac{c}{{x + 1}} + \frac{d}{{{{(x + 1)}^2}}}\]
trovando le costanti si scompone l'integrale in integrali immediati più semplici.

Saluti.


PS: Essendo un normale integrale di funzione razionale fratta questo topic andrà spostato nella categoria più opportuna. Lo User Admin provvederà al più presto. Ti prego di fare più attenzione alle categorie in cui si apre un topic! Grazie.