Sia dato un insieme di interpreti, di cui si sa che: \[\binom{6}{2}\]
parlano l' inglese, \[\binom{5}{3}\]
il francese e \[\binom{6}{2}\]
il tedesco. Inoltre, \[\binom{5}{2}\]
parlano sia inglese che francese, \[\binom{4}{2}\]
sia inglese che tedesco, \[\binom{3}{2}\]
sia francese che tedesco. Un solo interprete parla tutte e tre le lingue.
Quanti sono gli interpreti? Le risposte al quesito possono essere: 31, 44, 76, 22, 16. Solo una di queste è vera!
Il mio ragionamento si ferma al semplice e puro calcolo dei coefficienti binomiali e cioè
\[\binom{6}{2}=\frac{6!}{4!\cdot 2!}=\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{(4\cdot 3\cdot 2\cdot 1)\cdot (2\cdot 1)}=\frac{6\cdot 5\cdot 4!}{4!\cdot (2\cdot 1)}=\frac{30}{2}=15\rightarrow INGLESE\]
\[\binom{5}{3}=\frac{5!}{3!\cdot 2!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{(3\cdot 2\cdot 1)\cdot (2\cdot 1)}=\frac{5\cdot4\cdot 3!}{3!\cdot (2\cdot 1)}=\frac{20}{2}=10\rightarrow FRANCESE\]
e con lo stesso procedimento
\[\binom{6}{2}=15 \rightarrow TEDESCO\]
\[\binom{5}{2}=10 \rightarrow ing+fra\]
\[\binom{4}{2}=6 \rightarrow ing+ted\]
\[\binom{3}{2}=3 \rightarrow fra+ted\]
\[1 \rightarrow ing+ fra+ted\]
Ora la somma di tutti è 60, ma non è tra le risposte. Immagino che occorre fare un altro ragionamento: quale? Ho provato a rappresentare tre insiemi: inglese, francese e tedesco come tre anelli che si incrociano (diagramma di Eulero-Venn), ma non riesco comunque a trovare la soluzione.
Grazie in anticipo.
