Questo tipo di esercizio chiede di solito di studiare la continuità e discontinuità al variare del parametro k; in altre parole per quali valori di k la funzione è continua?
\[f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{sin(2x)}}{{3x}}\;\;\;\;\;x \ne 0\\
k\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x = 0
\end{array} \right.\]
basta verificare (ed eventualmente imporre) che il limite destro e sinistro verso il punto sospetto di continuità (x=0) esistano finiti e coincidano entrambi con il valore della funzione nel punto!
\[\left\{ \begin{array}{l}
{x_0} = 0\\
f(0) = k\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{sin(2x)}}{{3x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{sin(2x)}}{{3 \cdot 2x}}2 = \frac{2}{3}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{sin(2x)}}{{2x}} = \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3}\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{sin(2x)}}{{3x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{sin(2x)}}{{3 \cdot 2x}}2 = \frac{2}{3}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{sin(2x)}}{{2x}} = \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3}
\end{array} \right.\]
si deduce quindi che per avere continuità nel punto x=0 deve essere:
\[k = \frac{2}{3}\]
Ti consiglio per questo tipo di problemi di guardare i numerosi video-tutorials disponibili per questo argomento al seguente link:
Analisi 1 >> Studio di Funzioni >> Studio della Continuità e Discontinuità >> Funzioni Varie ParametricheSaluti.
PS: Poichè questo post riguarda più propriamente lo Studio di Continuità e Discontinuità delle Funzioni, verrà spostato dallo User Admin nella più opportuna categoria. Ti prego di fare attenzione a postare le questioni di esercizi sugli studi di funzioni nella giusta categoria! Grazie.
