Calcolo limite con i limiti notevoli

[piero87]

Ciao a tutti. mi potete aiutare con il calcolo del seguente limite?
dove sbaglio?

[EDIT User Admin] Correzione codice LaTex
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + {x^2}) + x\,sen(5x)}}{{1 - \cos (2x)}}\]

utilizzo i limiti notevoli

lim_(x -> 0) (ln(1+x^2))/x^2*x^2=1 *x^2
lim_(x -> 0) (sen(5x))/(5x) * 5x= 5x
lim_(x -> 0) (1-cos2x)/(2x)=0*2x

riscrivendo tutto ottengo:

lim_(x -> 0) (x^2+x*5x)/(0*2x)=

mi potete dire dove sbaglio?

ps (non ho ancora risolto con equation editor, anche copiando dal DEMO non me lo legge)

[maurizio.schirinzi]

Ciao,
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + {x^2}) + x\,sen(5x)}}{{1 - \cos (2x)}} = \]
L'errore che commetti sta nel sostituire le tendenze degli oggetti che rappresentano le configurazioni dei limiti notevoli prima di aver eliminato la forma indeterminata!! ... questo è un classico errore che si commette in alcuni esercizi come questo! ... si compromette il risultato del limite!

Occorre invece, come ripetutamente precisato nei miei video-tutorials, smontare a pezzi il calcolo del limite applicando rigorosamente le sole proprietà dei limiti fino a isolare le espressioni che rappresentano i limiti notevoli eliminando nel contempo la forma indeterminata; solo alla fine sui singoli limiti notevoli "isolati" a prodotto dal resto dell'espressione si applicano i risultati "secchi" dei limiti notevoli per calcolare il risultato del limite finale.

Procedendo dunque in questo modo rigoroso si ha:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + {x^2}) + x\,sen(5x)}}{{1 - \cos (2x)}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + {x^2})}}{{1 - \cos (2x)}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x\,sen(5x)}}{{1 - \cos (2x)}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\ln (1 + {x^2})}}{{{x^2}}}{x^2}}}{{\frac{{1 - \cos (2x)}}{{{{(2x)}^2}}}{{(2x)}^2}}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x\,\frac{{sen(5x)}}{{5x}}5x}}{{\frac{{1 - \cos (2x)}}{{{{(2x)}^2}}}{{(2x)}^2}}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\ln (1 + {x^2})}}{{{x^2}}}}}{{\frac{{1 - \cos (2x)}}{{{{(2x)}^2}}}}}\mathop { \cdot \lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}}}{{4{x^2}}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{sen(5x)}}{{5x}}}}{{\frac{{1 - \cos (2x)}}{{{{(2x)}^2}}}}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{5{x^2}\,}}{{4{x^2}}} = \]
\[ = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + {x^2})}}{{{x^2}}}}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos (2x)}}{{{{(2x)}^2}}}}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{4} + \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{sen(5x)}}{{5x}}}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos (2x)}}{{{{(2x)}^2}}}}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{5}{4} = \]
\[ = \frac{1}{{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{5}{4} = 2\frac{1}{4} + 2\frac{5}{4} = \frac{1}{2} + \frac{5}{2} = 3\]

Ti consiglio di guardare i moltissimi video-tutorials disponibili nel sito relativamente all'uso corretto delle tecniche di calcolo dei limiti con i limiti notevoli:

Video-Lezioni Esercizi >> Analisi 1 >> Limiti >> Calcolo di Limiti >> Limiti Vari con tecniche di Limiti Notevoli


Saluti.


PS: L'equation editor ora sembra funzionare correttamente (compresa l'anteprima), come puoi facilmente verificare qui Demo Equation Editor
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Un suggerimento per l'uso corretto di Equation Editor: soffermandoti per 2 secondi con il mouse su ogni pulsante-simbolo appare un tip che mostra come usare correttamente la sintassi di quel simbolo nel linguaggio LaTex. Inoltre assicurati sempre, quando copi il codice LaTex nel post, che siano presenti i caratteri delimitatori di inizio e fine del codice LaTex (come precisato subito sotto all'equation editor stesso).
Se dovessi ancora avere problemi o l'uso dell'equation editor integrato nel forum ti è scomodo, puoi usare il potentissimo e facilissimo editor esterno da noi consigliato "MathType" (anche in versione Demo 30gg) per compilare più comodamente le formule e copiare poi il codice LaTex direttamente nel post.

[piero87]

Grazie mille per la risposta

Procedendo dunque in questo modo rigoroso si ha:

\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\ln (1 + {x^2})}}{{{x^2}}}{x^2}}}{{\frac{{1 - \cos (2x)}}{{{{(2x)}^2}}}{{(2x)}^2}}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x\,\frac{{sen(5x)}}{{5x}}}}{{\frac{{1 - \cos (2x)}}{{{{(2x)}^2}}}(2x)}} = \]

nella seconda parte del limite non dovrei moltiplicare anche per 5x?

Con il risolutore automatico il risultato di questo limite mi viene 3. E' possibile??

[maurizio.schirinzi]

Si !! ... infatti proprio mentre stavi scrivendo la tua risposta stavo già correggendo l'errore del 5x !!

[piero87]

perfetto

Vorrei chiedere un'ultima cosa.

nel \[\lim_{x\rightarrow 0} (1-cos(2x))\]

potrei utilizzare il limite notevole \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cosx}{x}=1\]

e quindi nel nostro caso: \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos(2x)}{2x}\cdot 2x=2x\] ???

grazie mille.
Buona serata

[maurizio.schirinzi]

Quel limite notevole che hai scritto non esiste!!

L'altro limite notevole del coseno (oltre a quello che fa 1/2) è il seguente:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos (x)}}{x} = 0\]
infatti si ha:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos (x)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(1 - \cos (x))(1 + \cos (x))}}{{x(1 + \cos (x))}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - {{\cos }^2}(x)}}{{x(1 + \cos (x))}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{se{n^2}(x)}}{{x(1 + \cos (x))}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x\;se{n^2}(x)}}{{{x^2}(1 + \cos (x))}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{se{n^2}(x)}}{{{x^2}}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{(1 + \cos (x))}} = \]
\[ = 1 \cdot \frac{0}{2} = 0\]

inoltre scrivere come hai scritto:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - cos(2x)}}{{2x}}\cdot2x = 2x\]
non ha alcun senso!! ...

come fa il risultato di un limite a dipendere ancora da x?? ... il risultato di un limite (quando esiste) è sempre un numero "secco" (finito o infinito)!!

[piero87]

si certo che stupido. mi sono fidato della mia memoria... nel quaderno avevo scritto giusto, (zero).
se utilizzassi questo limite notevole, il risultato del limite mi verrebbe zero.

(chiedo scusa se non scrivo il procedimento, ma ho ancora problemi con l'editor. Prima ha funzionato bene per due messaggi, poi nuovamente bloccato!)

[maurizio.schirinzi]

No! ... non serve a nulla usare quel limite notevole perché ti ritroveresti ancora in forma indeterminata [0/0] !!