Dalla partizione di un insieme alla relazione binaria di equivalenza

[vinx91ct]

Esiste un teorema che mi dice che se esiste una partizione $F$ di un insieme A (non vuoto), allora dovrà esistere una e una sola relazione binaria di equivalenza $R_F$ indotta dalla partizione $F$.

Ora facciamo un esempio.

Io ho un insieme A così costituito:

\[A=\left \{ a,b,c,d \right \}\]

Ed ho una partizione di questo tipo

\[F= \left \{ \left \{ a \right \}, \left \{ b,c \right \}, \left \{ d \right \} \right \}\]

Ebbene, come sappiamo, quest'ultima è una partizione perché ogni insieme è NON vuoto, gli elementi sono a due a due disgiunti (cioè nessun sottoinsieme di F ha elementi in comune con i restanti sottoinsiemi) e l'unione di tutti i sottoinsiemi restituisce l'insieme dato o di partenza A.

Oh, per essere vero che esiste una e una sola relazione di equivalenza è necessario che gli elementi di ciascun sottoinsieme che formano la partizione rispettino 3 proprietà tipiche della relazioni binarie:

- proprietà riflessiva $a\Re a , \ \ \forall a\in A$
- proprietà simmetrica $a\Re b\Rightarrow b\Re a , \ \ \forall a,b\in A$
- proprietà transitiva $a\Re b \wedge b\Re c \Rightarrow a\Re c , \ \ \forall a,b,c\in A$

Bene. La SOLA ed UNICA relazione di equivalenza "indotta" dalla partizione F, dovrebbe essere

\[R_F=\left \{ (a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (b,c), (c,b) \right \}\]

La domanda è: ma se questa relazione binaria di equivalenza è corretta, come è possibile che la proprietà transitiva sia soddisfatta? Dov'è il nostro terzo elemento se ogni sottoinsieme è costituito al più da due elementi (e in particolare abbiamo che esiste solo un sottoinsieme composto dai soli due elementi b e c $(b,c), (c,b)$)?

[maurizio.schirinzi]

Ciao, il teorema a cui ti riferisci non dovrebbe essere scritto cosi?!! ...

Teorema diretto:
Ogni relazione di equivalenza su un insieme E determina una partizione di E i cui elementi sono le classi di equivalenza.

Teorema inverso:
Ogni partizione di un insieme E determina una relazione di equivalenza su E le cui classi sono gli elementi della partizione.

Prova a dare un'occhiata a questo documento: Legame tra partizioni e relazioni di equivalenza

Dopo prova a ripensare al tuo esempio, ... forse c'è qualcosa che non va!