Ciao, \[f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\ln (1 + x)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; - 1 \le x < 0\\
a\,sen(x) + \,b\cos (x)\;\;\;\;\;\;\;0 \le x < \frac{\pi }{2}\\
x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x \ge \frac{\pi }{2}
\end{array} \right.\]
I punti sospetti di discontinuità sono quelli a cavallo da un caso all'altro della definizione di funzione a tratti. Per studiare la continuità-discontinuità nei punti sospetti occorre fare i soliti 3 calcoli per ciascun punto sospetto; ad esempio per il punto x=0 occorre fare:
\[{x_0} = 0\;\left\{ \begin{array}{l}
f(0) = a\,sen(0) + \,b\cos (0) = b\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} [a\,sen(x) + \,b\cos (x)] = b\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \ln (1 + x) = 0
\end{array} \right.\]
per la continuità nel punto x=0 occorre imporre l'uguaglianza dei 3 risultati e quindi la condizione di continuità sarà b=0.
Analogamente si procede con gli altri punti e alla fine si mettono a sistema tutte le condizioni di continuità trovate per ricavare (ammesso che esistano) i valori dei parametri per cui la funzione risulta completamente continua in tutti i punti sospetti oltre agli altri punti del dominio dove lo è già.
Ti consiglio di guardare bene i moltissimi e dettagliatissimi video-tutorials disponibili sul sito sullo studio della continuità di funzioni parametriche; potrai quindi comprendere facilmente le procedure generali per affrontare questo tipo di esercizi:
Analisi 1 >> Studio di Funzioni >> Studio della Continuità e Discontinuità >> Funzioni Varie ParametricheSaluti.
PS: Questo topic è nella categoria sbagliata: qui siamo nella categoria "Studio Derivabilità e Continuità". Ti prego di fare attenzione alle categorie del forum dove postare. Lo User Admin provvederà a spostare questo topic nella più appropriata categoria "Studio Continuità e Discontinuità". Riguardo all'uso dello equation editor puoi esercitarti con la demo al seguente indirizzo prima di postare nel forum. Grazie.
Demo Equation Editor
mi da a= $ \pi/2$ e b= $0$