Esercizio calcolo limite con esponenziali

[AleK]

Buongiorno, stavo provando a risolvere il seguente limite, ma dopo aver messo in evidenza al denominatore il fattore 5^(x/2) vorrei applicare il limite notevole: lim (1 + 1/x)^x = e ma ho delle difficoltà nel far apparire l'esponente nel mio limite.


\[\[\mathop{\lim}\limits_{x\to +\infty}\frac{{{{3}^x}}}{{{{5}^{x/2} (+1)}}}\]\]

[EDIT Admin] Correzione codice LaTex
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{3^x}}}{{{5^{x/2}} + 1}}\]

saluti

[maurizio.schirinzi]

Ciao, non è molto chiaro come è scritto il limite! ... sarebbe questo? ...
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{3^x}}}{{{5^{x/2}} + 1}} = [\frac{\infty }{\infty }]\]
se è cosi allora a cosa serve il limite notevole dell'esponenziale?

Il calcolo si fa agevolmente senza limiti notevoli:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{3^x}}}{{{5^{x/2}} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{3^x}}}{{{5^{x/2}}(1 + \frac{1}{{{5^{x/2}}}})}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{3^x}}}{{{{({5^{1/2}})}^x}(1 + \frac{1}{{{5^{x/2}}}})}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [\frac{{{3^x}}}{{{{({5^{1/2}})}^x}}} \cdot \frac{1}{{(1 + \frac{1}{{{5^{x/2}}}})}}] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [{(\frac{3}{{{5^{1/2}}}})^x} \cdot \frac{1}{{(1 + \frac{1}{{{5^{x/2}}}})}}] = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {(\frac{3}{{\sqrt 5 }})^x} \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{1 + \frac{1}{{{5^{x/2}}}}}} = ( + \infty ) \cdot (\frac{1}{{1 + \frac{1}{{ + \infty }}}}) = ( + \infty ) \cdot (\frac{1}{{1 + 0}}) = + \infty \]

Saluti.


PS: Ti prego di esercitarti meglio con l'equation editor o usare un programma esterno come MathType per produrre il codice LaTex corretto da postare nel forum. Grazie.

[AleK]

La ringrazio per avermi risposto, si il limite è proprio quello.
La mia idea era, dato che nel secondo passaggio al denominatore ho una quantità del tipo (1+1/x), di applicare il limite notevole, però m rendevo conto che mi mancava l'esponente per poter applicare tale limite.
Dato che non riesco a scrivere correttamente le espressioni matematiche, la prossima volta userò qualche programma esterno per non sbagliare.
Grazie ancora per la sua attenzione. Saluti