Ciao,
1) Riguardo alla prima serie occorre razionalizzare il Numeratore e NON il Denominatore, per ricondurla poi ad una serie armonica generalizzata:
\[\frac{{\sqrt {n + 1} - \sqrt n }}{{\sqrt {{n^2} + n} }} = \frac{{(\sqrt {n + 1} - \sqrt n )(\sqrt {n + 1} + \sqrt n )}}{{\sqrt {{n^2} + n} \;(\sqrt {n + 1} + \sqrt n )}} = \frac{{n + 1 - n}}{{\sqrt {{n^2} + n} \;(\sqrt {n + 1} + \sqrt n )}} = \]
\[ = \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + n} \;(\sqrt {n + 1} + \sqrt n )}} \cong \frac{1}{{\sqrt {{n^2}} \;(\sqrt n + \sqrt n )}} = \frac{1}{{n\;(2\sqrt n )}} = \frac{1}{2}\frac{1}{{n\sqrt n }} = \]
\[ = \frac{1}{2}\frac{1}{{n\;{n^{1/2}}}} = \frac{1}{2}\frac{1}{{{n^{3/2}}}}\]
\[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{{\sqrt {n + 1} - \sqrt n }}{{\sqrt {{n^2} + n} }}} \cong \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{2}\frac{1}{{{n^{3/2}}}}} = \frac{1}{2}\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{{n^{3/2}}}}} \;\;\; \to \;\;\;converge!\]
2) Per la seconda serie basta approssimare con Taylor al 1° ordine il logaritmo (poichè ${\frac{1}{{{n^2}}}}$ tende a zero!):
\[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\ln (1 + \frac{1}{{{n^2}}})} \]
\[\ln (1 + \frac{1}{{{n^2}}}) \cong \frac{1}{{{n^2}}}\]
\[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\ln (1 + \frac{1}{{{n^2}}})} \cong \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{{n^2}}}\;\;\; \to \;\;\;converge!} \]
3) Per la terza serie invece come fa ad essere maggiorata da un termine più piccolo come $\frac{1}{{n!}}$??
\[\sum\limits_{i = 1}^{ + \infty } {\frac{{{{1000}^n}}}{{n!}}} \;\]
E' possibile invece dimostrare in generale che una serie di quel tipo converge sempre:
\[\sum\limits_{i = 1}^{ + \infty } {\frac{{{\alpha ^n}}}{{n!}}} \;\;\;\alpha > 0\]
Infatti con il Criterio del Rapporto si ha:
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\frac{{{\alpha ^{n + 1}}}}{{(n + 1)!}}}}{{\frac{{{\alpha ^n}}}{{n!}}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{\alpha ^{n + 1}}}}{{(n + 1)!}}\frac{{n!}}{{{\alpha ^n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\alpha \;n!}}{{(n + 1)!}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\alpha \;n!}}{{(n + 1)\;n!}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{\alpha }{{(n + 1)}} = 0 < 1\;\;\; \to \;\;\;converge!\]
4) Riguardo all'ultima serie
\[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {{{( - 1)}^{n - 1}}\frac{n}{{{n^2} + 1}}} \]
se non converge assolutamente non puoi dire nulla sulla convergenza semplice! ... la convergenza assoluta infatti implica la convergenza semplice ma solo se si ha convergenza assoluta e NON se si ha divergenza assoluta!!
In questo caso invece, trattandosi di una serie a segni alterni, non sarebbe forse più opportuno provare ad applicare il classico Criterio di Leibniz per le serie di segno alterno? ... Lascio a te le ovvie conclusioni su quest'ultima serie!
Saluti.
PS: Ti prego in futuro di non postare liste di esercizi in un unico topic, ma di aprire una nuova discussione su ogni singola questione o su ogni singolo esercizio, sempre nella più appropriata categoria del forum! Grazie.
