Calcolare la somma della serie

[gloria]

salve ,avrei bisogno di aiuto su tale serie
\[\sum_{1}^{infinito}\frac{1}{n(n+3)}\]
io ho provato a fare così:
\[ \sum_{1}^{infinito}\frac{1}{n(n+3)}=\sum \frac{1}{3}[\frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}] \]
ma poi calcolando la Sn viene
\[s_n=(1-\frac{1\cdot }{5})+(\frac{1}{2}-\frac{1\cdot }{6})+(\frac{1}{3}-\frac{1\cdot }{7})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{8})+(\frac{1\cdot }{5}-\frac{1}{9})+(\frac{1\cdot }{6}-\frac{1}{10})+(\frac{1\cdot }{7}-\frac{1}{11})\]
dove con il pallino ho indicato i termini che mano a mano se ne vanno.Qui mi sono bloccata perchè non mi sembrava la classica telescopica.
Grazie mille x l'aiuto.


ps : scusi se inserisco 3 4 post tutti insieme ma purtroppo non ho sempre la connessione e accumulo materiale

[maurizio.schirinzi]

Ciao,
\[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{n\,(n + 3)}}} \]
decomponendo il termine n-esimo della serie con la solita decomposizione in fratti semplici si arriva a scrivere
\[\frac{1}{{n\,(n + 3)}} = \frac{a}{n} + \frac{b}{{n + 3}} = \frac{{\frac{1}{3}}}{n} + \frac{{ - \frac{1}{3}}}{{n + 3}} = \frac{1}{3}[\frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 3}}]\]
dunque la serie si scriverà
\[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{n\,(n + 3)}} = } \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{3}[\frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 3}}]} \, = \frac{1}{3}\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {[\frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 3}}]} = *\]
scrivendo la successione delle somme parziali fino al termine n-esimo ed eliminando i termini che si elidono si ha
\[{s_n} = (1 - \frac{{1\cdot}}{5}) + (\frac{1}{2} - \frac{{1\cdot}}{6}) + (\frac{1}{3} - \frac{{1\cdot}}{7}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{8}) + (\frac{{1\cdot}}{5} - \frac{1}{9}) + (\frac{{1\cdot}}{6} - \frac{1}{{10}}) + (\frac{{1\cdot}}{7} - \frac{1}{{11}}) + ... + (\frac{{1 \cdot }}{n} - \frac{1}{{n + 3}}) = 1 - \frac{1}{{n + 3}}\]
da cui calcolando il limite della Sn si ha la convergenza e la somma della serie
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {s_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } [1 - \frac{1}{{n + 3}}] = 1\]
pertanto la serie di partenza converge e la somma sarà
\[* = \frac{1}{3}\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {[\frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 3}}]} = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}\]

Saluti.