Particolare equazione differenziale del primo ordine

[piero87]

Ciao a tutti.
mi potete dare una mano?
Sto facendo le equazioni differenziali, pensavo di aver capito abbastanza bene l'argomento fino a quando non mi sono imbattuto in questo esercizio messo in un compito dal docente:


$y'x^3+3xy-2y^2x^4 log(x)=0$

Utilizzando la sostituzione $y(x)x^2=z(x)$

grazie mille
ciao ciao

[maurizio.schirinzi]

Ciao,
\[y'{x^3} + 3xy - 2{y^2}{x^4}log(x) = 0\]
un'idea potrebbe essere la seguente:

prima di tutto possiamo dividere tutto per x (x>0 per le condizioni di esistenza del logaritmo)
\[y'{x^2} + 3y - 2{y^2}{x^3}log(x) = 0\]
ponendo poi
\[z = y{x^2}\;\;\; \to \;\;\;y = \frac{z}{{{x^2}}}\]
si ha
\[z' = y'{x^2} + 2xy\;\;\; \to \;\;\;y'{x^2} = z' - 2xy\]
sostituendo poi nell'equazione si ha
\[z' - 2xy + 3y - 2{y^2}{x^3}log(x) = 0\]
\[z' + ( - 2x + 3)y - 2{y^2}{x^3}log(x) = 0\]
ed essendo
\[y = \frac{z}{{{x^2}}}\]
sostituendo ancora
\[z' + ( - 2x + 3)\frac{z}{{{x^2}}} - 2\frac{{{z^2}}}{{{x^4}}}{x^3}log(x) = 0\]
da cui
\[z' + (\frac{{ - 2x + 3}}{{{x^2}}})\,z - \frac{2}{x}{z^2}log(x) = 0\]
\[z' + (\frac{{ - 2x + 3}}{{{x^2}}})\,z = \frac{2}{x}log(x)\,{z^2}\]
a questo punto potresti vederla come una equazione di Bernoulli del tipo
\[y' + f(x)y = g(x){y^n}\;\;\;n \in Z\]
nel nostro caso rispetto a z, e con la solita sostituzione ulteriore di Bernoulli si dovrebbe arrivare prima alla soluzione rispetto a z, poi occorrerà riportarla in y con le sostituzioni fatte inizialmente!

Non ho provato a fare tutti i calcoli successivi di Bernoulli! ... Lascio a te fare i calcoli e postare eventualmente i risultati ottenuti.

Saluti.