Ciao,
\[\int\limits_1^2 {\frac{{\sqrt {x - 1} }}{{\sqrt[3]{x} - 1}}dx} \]
poichè la funzione ha un problema di dominio in x=1, occorre analizzare il comportamento asintotico della funzione nell'intorno destro di 1 effettuando prima alcune manovre algebriche
\[x \to {1^ + }\]
\[\frac{{\sqrt {x - 1} }}{{\sqrt[3]{x} - 1}} = \frac{{\sqrt {x - 1} (\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1)}}{{(\sqrt[3]{x} - 1)(\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1)}} = \frac{{\sqrt {x - 1} (\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1)}}{{x - 1}} = \]
\[ = \frac{{{{(x - 1)}^{1/2}}}}{{{{(x - 1)}^1}}}(\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1) = \frac{{\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1}}{{{{(x - 1)}^{1/2}}}} \simeq 3\frac{1}{{{{(x - 1)}^{1/2}}}}\]
ricordando che integrali del tipo
\[\int\limits_{{x_0}}^b {\frac{1}{{{{(x - {x_0})}^\alpha }}}} \;dx\;\;\;converge\;per\;\alpha < 1\]
allora
\[x \to {1^ + }\;\;\;\int\limits_1^2 {3\frac{1}{{{{(x - 1)}^{1/2}}}}dx} = 3\;\int\limits_1^2 {\frac{1}{{{{(x - 1)}^{1/2}}}}dx} \;\;\;converge\]
dunque converge anche l'integrale di partenza!
Analogamente si procede per l'altro integrale
\[\int\limits_{ - 1}^0 {\frac{{{x^4} + x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx} \]
\[x \to - {1^ + }\]
\[\frac{{{x^4} + x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = \frac{{x({x^3} + 1)}}{{\sqrt {(1 - x)(1 + x)} }} = \frac{{x(x + 1)({x^2} - x + 1)}}{{\sqrt {(1 + x)} \sqrt {(1 - x)} }} = \]
\[ = \frac{{x{{(x + 1)}^1}({x^2} - x + 1)}}{{{{(x + 1)}^{1/2}}\sqrt {(1 - x)} }} = \frac{{x({x^2} - x + 1)}}{{{{(x + 1)}^{ - 1/2}}\sqrt {(1 - x)} }}\mathop \simeq \limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{ - 3}}{{\sqrt 2 }}\frac{1}{{{{(x + 1)}^{ - 1/2}}}}\]
\[x \to - {1^ + }\;\;\;\int\limits_{ - 1}^0 {\frac{{ - 3}}{{\sqrt 2 }}\frac{1}{{{{(x + 1)}^{ - 1/2}}}}dx} = \frac{{ - 3}}{{\sqrt 2 }}\int\limits_{ - 1}^0 {\frac{1}{{{{(x - ( - 1))}^{ - 1/2}}}}dx} \;\;\;converge\]
Saluti.
da antoniosereno29 » 11/05/2014, 23:51 
