Dopo aver impostato il sistema risolvente con il metodo delle variazioni delle costanti e calcolato il relativo Wronskiano con le soluzioni associate alle costanti incognite si dovrebbe ottenere (se non ho commesso qualche errore di calcolo):
\[c{'_1}(x) = - \frac{{\ln (x)}}{{{e^{2x}}}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;c{'_2}(x) = \frac{{\ln (x)}}{{{e^{3x}}}}\]
i cui integrali risultano quindi effettivamente del tipo di quello da te postato!
E' chiaro che questo tipo di integrale non è risolvibile algebricamente, almeno con i metodi base utilizzati di solito (sostituzione o per parti).
Dunque, a meno di qualche artificio particolare da effettuare o sull'integrale o addirittura sull'equazione differenziale di partenza (al momento non me ne viene in mente nessuno!), direi che siamo in una di quelle situazioni dove il metodo delle variazioni delle costanti (o di Lagrange) fallisce!
D'altra parte tale metodo generale (come riportato anche su Wikipedia al seguente link
Metodo delle variazioni delle costanti) presume una fondamentale condizione:
"ll metodo delle variazioni delle costanti (o di Lagrange) è un metodo generale che consente di determinare l'integrale generale di un'equazione differenziale lineare di qualunque ordine e qualunque sia la funzione continua f(t) che costituisce il termine noto. Questo metodo risulta applicabile laddove si riescano a determinare n soluzioni indipendenti dell'equazione omogenea associata
e delle primitive di opportune funzioni che forniscono la soluzione di un sistema."
A questo punto sono curioso di sapere se abbiamo dalla fonte dell'esercizio una qualche soluzione esplicita?!!
Nel caso disponi della soluzione, o dovessi trovarne una, ti prego di postarla qui in modo che possa essere utile anche ad altri. Grazie.
da gloria » 13/05/2014, 22:50 
grazie
