Ciao, innanzitutto è doverosa una piccola precisazione formale-simbolica: immagino che dovrebbe essere una equazione differenziale di ordine 8 ... cioè i gradi che hai indicato sulla y sono ordini di derivazione!!? ... come l'hai scritta tu, dal punto di vista simbolico, non sembra essere neanche un' equazione differenziale!
Io di solito la scrivo cosi, per precisare che i numeri ad esponente sono ordini di derivazione e non potenze:
\[{y^{(8)}} + 2{y^{(6)}} - 2{y^{(2)}} - y = 0\]
il polinomio caratteristico dell'omogenea sarà dunque
\[{\lambda ^8} + 2{\lambda ^6} - 2{\lambda ^2} - 1 = 0\]
che è un polinomio reciproco di ottavo grado 2° specie incompleto, ma per fortuna ponendo
\[{\lambda ^2} = t\]
si riesce ad abbassarlo temporaneamente di grado ad un polinomio ancora reciproco di quarto grado 2° specie incompleto, che con le solite tecniche dei raccoglimenti parziali (o con Ruffini) si riesce a scomporlo nel seguente modo
\[{t^4} + 2{t^3} - 2t - 1 = 0\;\;\; \to \;\;\;{t^4} - 1 + 2{t^3} - 2t = 0\]
\[({t^2} - 1)({t^2} + 1) + 2t({t^2} - 1) = 0\;\;\; \to \;\;\;({t^2} - 1)[({t^2} + 1) + 2t] = 0\]
\[(t - 1)(t + 1)[{t^2} + 2t + 1] = 0\;\;\; \to \;\;\;(t - 1)(t + 1){(t + 1)^2} = 0\]
da cui ritornando in $\lambda $ si ha
\[({\lambda ^2} - 1)({\lambda ^2} + 1){({\lambda ^2} + 1)^2} = 0\;\;\; \to \;\;\;({\lambda ^2} - 1){({\lambda ^2} + 1)^3} = 0\]
a questo punto non ti dovrebbe essere difficile trovare tutti i relativi valori di $\lambda $ reali semplici e complessi coniugati molteplici!
Saluti.
