Integrale indefinito con radicale al denominatore

[silvietta91]

Salve,

Non so come risolvere questo integrale ed anche un mio amico laureato in matematica ha trovato difficoltà nel svolgerlo.
Spero in una sua spiegazione:

\[\int \frac{dx}{\sqrt{x-x^2}}\]

Grazie mille

[maurizio.schirinzi]

Si tratta di un integrale classificato nella categoria "Integrali di Particolari Funzioni Irrazionali" risolvibili con particolari sostituzioni (dette da alcuni sostituzioni di Eulero)!!

In questo caso analizzando il polinomio di secondo grado dentro alla radice e individuando la casistica giusta della sostituzione di Eulero si ha:
\[\int {\frac{1}{{\sqrt {x - {x^2}} }}} \,dx\]
sostituzione:
\[\begin{array}{l}
\sqrt {x - {x^2}} = tx\;\;\; \to \;\;\;x - {x^2} = {t^2}{x^2}\;\;\; \to \;\;\;({t^2} + 1){x^2} - x = 0\;\;\; \to \;\;\;x[({t^2} + 1)x - 1] = 0\;\;\; \to \\
\;\;\; \to \;\;\;x = 0\;\;\;(n.a.)\;\;\;({t^2} + 1)x - 1 = 0\;\;\; \to \;\;\;({t^2} + 1)x - 1 = 0\;\;\; \to \;\;\;x = \frac{1}{{({t^2} + 1)}}\;\;\; \to \\
\;\;\; \to \,\,\,dx = - \frac{{2t}}{{{{({t^2} + 1)}^2}}}dt
\end{array}\]
da cui si ha:
\[\sqrt {x - {x^2}} = tx\;\;\; \to \,\,\,\sqrt {x - {x^2}} = t\frac{1}{{({t^2} + 1)}}\;\;\; \to \,\,\,\sqrt {x - {x^2}} = \frac{t}{{({t^2} + 1)}}\]
inoltre la t sarà:
\[\sqrt {x - {x^2}} = tx\;\;\; \to \,\,\,t = \frac{{\sqrt {x - {x^2}} }}{x}\]
dunque l'integrale si svolgerà cosi:
\[\begin{array}{l}
\int {\frac{1}{{\sqrt {x - {x^2}} }}} \,dx = \int {\frac{1}{{\frac{t}{{({t^2} + 1)}}}}( - \frac{{2t}}{{{{({t^2} + 1)}^2}}})\,dt} = \int {\frac{{({t^2} + 1)}}{t}( - \frac{{2t}}{{{{({t^2} + 1)}^2}}})\,dt} = - 2\int {\frac{1}{{({t^2} + 1)}}\,dt} = \\
= - 2arctg(t) = - 2arctg(\frac{{\sqrt {x - {x^2}} }}{x}) + c
\end{array}\]
Effettivamente si tratta di un integrale di tipo molto avanzato ... è strano che il tuo prof lo metta in un compito d'esame!!



NB: Per la natura di questo integrale il topic andava aperto nella sezione più appropriata "Integrali di Particolari Funzioni Irrazionali".
Lo User Admin provvederà allo spostamento.

[cly82]

Ciao,
mi rendo conto che sia passato del tempo dalla richiesta d'aiuto.
Ho provato ugualmente a risolvere l'integrale seguendo un metodo differente (a mio parere più corretto e semplice da eseguire), sperando sia d'aiuto per altri utenti.

Trasformo il radicando nel quadrato di un binomio ± una costante e poi metto in evidenza la costante

$\int \frac{1}{\sqrt{x - x^2}}dx = \int \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}-\left ( x-\frac{1}{2} \right )^{2}}}dx =\int \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}\left [ 1-\frac{\left ( x-\frac{1}{2} \right )^{2}}{\frac{1}{4}} \right ]}}dx =\int \frac{1}{\frac{1}{2}\sqrt{1- \left ( x-\frac{1}{2} \right )^{2}\cdot 4}}$

porto il 4 all'interno del quadrato del binomio

$\int \frac{2}{\sqrt{1-\left ( 2x-1 \right )^{2}}}dx = \int \frac{f'(x)}{\sqrt{1-\left [ f(x) \right ]^{2}}}dx= arcsin f(x) + c$

rappresenta un integrale immediato generalizzato

quindi in definitiva

$\int \frac{1}{\sqrt{x-x^{2}}}dx = arcsin(2x-1) + c$

[maurizio.schirinzi]

Ciao cly82, bravissima!! ... si tratta infatti di un metodo alternativo a quello delle sostituzioni particolari di Eulero, chiamato tecnica del completamento del quadrato di un binomio, anche se purtroppo funziona solo quando nella radice si ha un polinomio di 2° grado (anche completo) con a<0 e delta>0 (quindi con 2 radici reali distinte!). Inoltre la radice deve essere sempre presente a denominatore nella configurazione come di seguito.

Ecco la dimostrazione del procedimento in generale per un integrale del tipo:
\[\int {\frac{1}{{\sqrt {a{x^2} + bx + c} }}dx} \]
supponiamo che sia
\[a < 0\;\;\; \wedge \;\;\;\Delta > 0\]
il polinomio di 2° grado nella radice si può riscrivere, con la tecnica del completamento del quadrato del binomio, nel seguente modo
\[a{x^2} + bx + c = a[{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}] = a\,[{x^2} + 2\frac{b}{{2a}}x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} - \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} + \frac{c}{a}] = \]
\[ = a\,[{(x + \frac{b}{{2a}})^2} - \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} + \frac{c}{a}] = a\,[{(x + \frac{b}{{2a}})^2} + \frac{{ - {b^2} + 4ac}}{{4{a^2}}}] = \]
\[ = a\,[{(x + \frac{b}{{2a}})^2} + \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4{a^2}}}] = a\,[{(x + \frac{b}{{2a}})^2} - \frac{\Delta }{{4{a^2}}}] = a\,[{(x + p)^2} - q]\]
posto
\[\frac{b}{{2a}} = p\;\;\;\;\; \wedge \;\;\;\;\;\frac{\Delta }{{4{a^2}}} = q > 0\;\;\;(\Delta > 0)\]
l'integrale si può dunque riscrivere cosi
\[\int {\frac{1}{{\sqrt {a{x^2} + bx + c} }}dx} = \int {\frac{1}{{\sqrt {a\,[{{(x + p)}^2} - q]} }}dx} = \int {\frac{1}{{\sqrt { - a\,[ - {{(x + p)}^2} + q]} }}dx} = \]
\[ = \int {\frac{1}{{\sqrt { - a\,[q - {{(x + p)}^2}]} }}dx} = \int {\frac{1}{{\sqrt { - a} \sqrt {q - {{(x + p)}^2}} }}dx} = \]
\[ = \frac{1}{{\sqrt { - a} }}\int {\frac{1}{{\sqrt {q - {{(x + p)}^2}} }}dx} = *\]
si noti che
\[\sqrt { - a} \;\;\;esiste\;perche'\;\;\;a < 0\;\;\; \to \;\;\; - a > 0\]
continuando lo svolgimento dell'integrale si ha
\[* = \frac{1}{{\sqrt { - a} }}\int {\frac{1}{{\sqrt {q\,[1 - \frac{{{{(x + p)}^2}}}{q}]} }}dx} = \frac{1}{{\sqrt { - a} }}\int {\frac{1}{{\sqrt q \,\sqrt {1 - \frac{{{{(x + p)}^2}}}{q}} }}dx} = \]
\[ = \frac{1}{{\sqrt { - a} }}\int {\frac{1}{{\sqrt q \,\sqrt {1 - {{(\frac{{x + p}}{{\sqrt q }})}^2}} }}dx} = \frac{1}{{\sqrt { - a} }}\frac{1}{{\sqrt q }}\int {\frac{1}{{\,\sqrt {1 - {{(\frac{{x + p}}{{\sqrt q }})}^2}} }}dx} = **\]
da cui procedendo per sostituzione si ha
\[\frac{{x + p}}{{\sqrt q }} = t\;\;\; \to \;\;\;d[\frac{{x + p}}{{\sqrt q }}] = d{\kern 1pt} [t]\;\;\; \to \;\;\;\frac{1}{{\sqrt q }}dx = dt\;\;\; \to \;\;\;dx = \sqrt q \,dt\]
\[** = \frac{1}{{\sqrt { - a} }}\frac{1}{{\sqrt q }}\int {\frac{1}{{\,\sqrt {1 - {t^2}} }}\sqrt q \,dt} = \frac{1}{{\sqrt { - a} }}\frac{{\sqrt q }}{{\sqrt q }}\int {\frac{1}{{\,\sqrt {1 - {t^2}} }}\,dt} = \]
\[ = \frac{1}{{\sqrt { - a} }}\int {\frac{1}{{\,\sqrt {1 - {t^2}} }}\,dt} = \frac{1}{{\sqrt { - a} }}arcsen(t) = \frac{1}{{\sqrt { - a} }}arcsen(\frac{{x + p}}{{\sqrt q }}) + c\]

Saluti.

[cly82]

La ringrazio,
è proprio quello che ho fatto io,
prima di applicare il metodo ho fatto le dovute considerazioni, polinomio di 2° grado a<0 e discriminante >0.

Saluti
Claudia