Ciao, mi sembra di capire che hai una grande confusione su successioni, serie numeriche, successioni di funzioni, serie di funzioni ecc... molto probabilmente causata come al solito da alcuni prof. universitari che non si soffermano a spiegare le cose fondamentali e partono subito con le solite definizioni "astratte" e teoremi vari! ... che non servono a nulla se non si spiega prima come funziona "la ruota" !!
Fatta questa piccola e dovuta precisazione didattica, vediamo di fare un po di chiarezza almeno sui termini e significati, fermo restando che per la trattazione di questi argomenti e i vari tipi di convergenze ti rimando alle dispense suddette e a un corso completo di Analisi 2.
La differenza tra successione e serie di funzioni è la stessa che c'è tra successione e serie numeriche! ...
- Una successione numerica è una "sequenza" di numeri espressa di solito con una funzione di n. Lo studio delle successioni riguarda la tendenza di questi numeri verso un numero "definitivo" per n che tende a infinito.
\[{({a_n})_{n \in N}} = {a_0}\;,\;{a_1}\;,\;{a_2}\;,\;{a_3}\;,\;{a_4}\;... = \;?\]
ad esempio:
\[{a_n} = {(\frac{1}{2})^n} = {(\frac{1}{2})^0}\;,\;{(\frac{1}{2})^1}\;,\;{(\frac{1}{2})^2}\;,\;{(\frac{1}{2})^3}\;,\;{(\frac{1}{2})^4} = \]\[ = 1\;,\;\frac{1}{2}\;,\;\frac{1}{4}\;,\;\frac{1}{8}\;,\;\frac{1}{{16}}\;,\;... = 0\]
studio della tendenza di limite della successione (convergenza o divergenza)
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {(\frac{1}{2})^n} = 0\]
- Una serie di numerica è una "somma" degli infiniti numeri di una successione numerica e il loro studio riguarda il capire se la somma di
infiniti numeri può dare un valore finito o no.
\[\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {{a_n}} = {a_0} + {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} + ... = ?\]
ad esempio:
\[\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {(\frac{1}{2}} {)^n} = {(\frac{1}{2})^0} + {(\frac{1}{2})^1} + {(\frac{1}{2})^2} + {(\frac{1}{2})^3} + {(\frac{1}{2})^4} + ... = \]
\[ = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{{16}} + ... = \frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2\;\;\;(serie\;geometrica)\]
- Una successione di funzioni è una "sequenza" di funzioni espressa mediante una funzione di n (oltre che da x). Lo studio riguarda la tendenza
di questa sequenza di funzioni verso una funzione "definitiva" per n che tende a infinito.
\[{[{f_n}(x)]_{n \in N}} = {f_0}(x)\;,\;{f_2}(x)\;,\;{f_3}(x)\;,\;{f_4}(x)\;,\;{f_5}(x)\;,\;...\; = \;F(x)\;?\]
ad esempio:
\[{f_n}(x) = {x^n} = {x^0}\;,\;{x^1}\;,\;{x^2}\;,\;{x^3}\;,\;{x^4}\;,\;...\]
più precisamente
\[\begin{array}{l}
{f_0}(x) = {x^0} = 1\\
{f_1}(x) = x\;\;\;(retta)\\
{f_2}(x) = {x^2}\;(parabola)\\
{f_3}(x) = {x^3}\;(cubica)\\
{f_4}(x) = {x^4}\\
...
\end{array}\]
studio della tendenza di limite della successione di funzioni (convergenza o divergenza)
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {x^n} = \;(dipende\;da\;x) = \left\{ \begin{array}{l}
F(x) = 0\;\;\;\;\; - 1 < x < 1\\
+ \infty \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x > 1\\
F(x) = 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x = 1\\
\not \exists \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x \le - 1
\end{array} \right.\]
- Una serie numerica è una "somma" delle infinite funzioni di una successione di funzioni e il loro studio riguarda il capire se la somma delle
infinite funzioni può dare una funzione somma definitiva e finita.
\[\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {{f_n}(x)} = {f_0}(x) + {f_2}(x) + {f_3}(x) + {f_4}(x) + {f_5}(x)\; + ... = F(x)\;\;?\]
ad esempio:
\[\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {{x^n}} = {x^0} + {x^1} + {x^2} + {x^3} + {x^4}...\; = \left\{ \begin{array}{l}
F(x) = \frac{1}{{1 - x}}\;\;\;\;\; - 1 < x < 1\\
+ \infty \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x \ge 1\\
\not \exists \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x \le - 1
\end{array} \right.\]
lo studio della convergenza puntuale verso una funzione somma definitiva dipende da x, e quindi si studia punto per punto pensando a x fissato.
Quando invece le convergenze sia di successione che di serie di funzioni verso una eventuale funzione definitiva non dipendono da x, nel senso che non solo si ha convergenza punto per punto di ogni serie numerica corrispondente per x fissato (con serie numeriche diverse per ogni x), ma si ha una convergenza "uniforme" nel "modo" (e mantenendosi entro certi confini) in cui convergono le singole successioni numeriche per ogni x fissato, si hanno altri tipi di convergenze (convergenza uniforme, totale ecc...), asseconda del modo in cui si ha la convergenza stessa. Qui ovviamente il discorso si fa un po più delicato e per questo ti rimando alle dispense suddette in attesa di futuri video-tutorials su questi argomenti.
Saluti.
