Volume di un solido con integrale triplo

[nuccio88]

Ciao, vorrei sapere se sto procedendo correttamente con la risoluzione del seguente esercizio:
Calcolare il volume del solido definito da:


$x^2+y^2+z^2\leq 4$ e $x^2-2 x+y^2\leq 0$



Ho riscritto la seconda disequazione così:

$(x-1)^2+y^2\leq 1$

(cerchio di centro 1,0 e di raggio 1)

Risolvo per fili paralleli all'asse z, con $-\text{sqrt} \left(-x^2-y^2+4\right)\leq z\leq \text{sqrt} \left(-x^2-y^2+4\right)$.
Prendo come dominio D' (dominio semplice rispetto all'asse y)dell'integrale doppio $(x-1)^2+y^2\leq 1$.
Così facendo integrare nella variabile z è semplice. Come estremi di integrazione dell'integrale doppio ho

scelto: 0 <= x <= 2 , $-\text{sqrt} \left(2 x-x^2\right)\leq y\leq \text{sqrt} \left(2 x-x^2\right)$. Fin qui è esatto? Non riesco poi a risolvere

l'integrale doppio avente per estremi di integrazione quelli che ho scritto pocanzi.

[maurizio.schirinzi]

Potresti postare con Equation Editor l'integrale doppio con la funzione da integrare e i relativi estremi? Grazie.

[nuccio88]

$\int _0^2\int _{-\sqrt{2 x-x^2}}^{\sqrt{2 x-x^2}}\sqrt{-x^2-y^2+4}dydx$

Ma il procedimento che ho adottato, e che poi mi porta ad avere questo integrale doppio, è corretto?

[maurizio.schirinzi]

Visto che il dominio è una specie di "cilindroide" hai provato a passare in coordinate cilindriche?
\[\psi :\left\{ \begin{array}{l}
x = \rho \;\cos (\vartheta )\\
y = \rho \;sen(\vartheta )\\
z = t
\end{array} \right.\;\;\;\;\;con\;\;\;\;\;\left[ \begin{array}{l}
\vartheta = [0,2\pi ]\\
\rho > 0\\
t \in R
\end{array} \right.\]
ricordando inoltre che il determinante dello Jacobiano della trasformazione in coordinate cilindriche è:
\[\left| {\det {J_\psi }(\rho ,\vartheta ,t)} \right| = \rho \]
In caso di dubbi sui cambi di coordinate ecco un'ottima dispensa di esercizi svolti sugli integrali tripli con cambi di coordinate

Integrali Tripli - Esercizi Svolti

Saluti.

[nuccio88]

Io ho tentato a risolverlo senza cambiamento di coordinate. Ma come faccio a riconoscere la forma di un cilindroide? Ha una equazione particolare? Inoltre vorrei capire, se possibile, se i passaggi che ho eseguito io, e che poi mi portano ad avere l'integrale doppio sopra, vanno comunque bene o se la mia impostazione è errata.

[maurizio.schirinzi]

Ciao, la prima equazione del dominio rappresenta una sfera centrata nell'origine e l'altra è, come dicevi tu, una circonferenza che per ogni valore di z libero ti da un cilindro nello spazio x,y,z. L'intersezione dei due solidi ti da un cilindroide. Ma, al di là della forma geometrica o di come si potrebbe chiamare il solido ottenuto, quello che è importante sapere è che purtroppo, con gli integrali tripli e domini di integrazione complessi, senza cambi di coordinate, gli integrali che si ottengono possono risultare molto difficili da gestire se non addirittura impossibili !!

Il tuo ragionamento e procedimento è formalmente corretto, ma l'integrale che ottieni e un integrale di funzione irrazionale particolare che andrebbe risolto con sostituzioni o artifici particolari con calcoli abbastanza complessi! ... Vedi a tale proposito il capitolo degli Integrali di Funzioni Irrazionali Particolari in Analisi 1, o anche qui nel forum all'indirizzo Integrali di Funzioni Irrazionali Particolari.

Si rendono quindi necessari, come si vede anche dagli esercizi svolti della dispensa che ti ho indicato, i cambi di coordinate (sferiche, cilindriche, ellittiche ecc...), per poter dunque affrontare questi tipi di integrali tripli altrimenti troppo difficili come calcoli se non addirittura impossibili!

Saluti.

[nuccio88]

Quindi dovrei notare la presenza del cilindro nello spazio in maniera indiretta, partendo dall'equazione della circonferenza (sul piano xy), che da quanto ho capito rappresenta proprio la base del cilindro in questione?
L'equazione cartesiana del cilindro la posso ricondurre alla seguente?

$(x-1)^2+y^2\leq 1$

Ma la figura geometrica "cilindroide" in generale rappresenta quindi proprio l'intersezione tra una sfera e un cilindro?

Se, invece, nel dominio fossero presenti figure geometriche quali ellissoide, paraboloide, iperboloide e cono, quali cambiamenti di variabili è consigliabile effettuare (solitamente intendo)?

[maurizio.schirinzi]

Si, l'equazione del cilindro è come hai detto con la sua circonferenza di base!
Ho usato il termine cilindroide per indicare l'intersezione tra la sfera e il cilindro! ... ma il nome non importa!

In generale non esiste un procedimento universale e una scelta universale del sistema di coordinate da scegliere. La valutazione va fatta caso per caso asseconda della complessità della funzione da integrare e soprattutto dalla forma e complessità del dominio di integrazione.

Saluti.

[nuccio88]

Ciao, nella dispensa sugli integrali tripli che mi hai consigliato ho un dubbio sull'esercizio c. A pagina 6 viene fatta una trasformazione in coordinate sferiche. Però si assume y = $\rho \cos (\vartheta )$. Io pensavo che dovesse sempre essere la variabile z ad essere posta uguale a $\rho \cos (\vartheta )$.
Questa sostituzione viene fatta poichè nel dominio di integrazione si ha $x^2-y^2+z^2<0$, per fare in modo che dopo la sostituzione si possa applicare la disequazione trigonometrica fondamentale?
Poi si parla di colatitudine misurata rispetto all'asse y. Non ho mai sentito parlare di questo termine. Di che si tratta?

Inoltre ti chiedo se $\rho \cos (\vartheta )$ può essere associato a una qualunque delle tre variabili x,y,z e come fare questa scelta. Grazie.

[Edit Admin] Correzione codice LaTex

[maurizio.schirinzi]

Ciao, per le coordinate sferiche (o polari nello spazio) valgono le seguenti convenzioni generali standard (e i relativi nomi delle grandezze) nell'immagine allegata.

Nulla vieta tuttavia, per comodità di calcolo o laddove i calcoli dovessero essere impossibili con le convenzioni standard, di cambiare la scelta della convenzione di riferimento (ad esempio la scelta degli angoli) e riferirli rispetto al piano xy piuttosto che al piano yz o al piano xz.

Con una diversa scelta le equazioni della trasformazione andranno riadattate di conseguenza!

Coordinate Sferiche (o Polari nello spazio)

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Saluti.