Calcolo del sup per lo studio di successioni di funzioni

[nuccio88]

Ciao, per il calcolo del sup che avviene nel contesto dello studio di successioni di funzioni basta calcolare la derivata prima della funzione e trovare i punti in cui essa si annulla? O ci sono anche procedimenti alternativi?

[maurizio.schirinzi]

La ricerca dell'estremo superiore può essere fatto mediante la ricerca del massimo assoluto nell'intervallo di studio della convergenza e quindi eventualmente anche con lo studio del segno della derivata prima a condizione che:

1) la funzione sia derivabile in tutti i punti dell'intervallo di studio della convergenza (si ricordi che gli eventuali estremi di un intervallo vanno gestiti a parte);

2) quando il max coincide con l'estremo superiore; si ricordi infatti che una funzione può ammettere estremo superiore in un intervallo senza che in quell'intervallo abbia per forza un massimo assoluto: si pensi ad esempio ad una funzione con discontinua di 3° specie in un punto oppure con presenza di asintoto orizzontale che fa da estremo superiore;

In tutti gli altri casi occorre quindi trovare una maggiorazione della successione di funzioni differenza rispetto alla funzione limite della convergenza puntuale mediante ragionamenti di tipo disequativo!

Lo studio della convergenza uniforme può essere a volte difficoltoso se non addirittura impossibile da attuarsi con i suddetti metodi. Per questo motivo si introduce un altro concetto "più forte" di convergenza: la convergenza TOTALE che è più facile da studiare e che, quando vera, implica automaticamente la convergenza uniforme.

Saluti.

[nuccio88]

Allora se voglio calcolare il sup di una funzione, devo prima calcolarne la derivata prima, verificare se la derivata è calcolabile nell'intervallo di studio della convergenza (dunque verificare che la derivata prima sia definita in tale intervallo) ... E dopo cos'altro devo fare per capire se posso assumere come sup proprio il massimo oppure se devo ricorrere a ragionamenti di tipo disequativo?

Inoltre, la convergenza totale di una successione di funzioni come si studia?allo stesso modo delle serie di funzioni?

[maurizio.schirinzi]

La ricerca del sup o massimo assoluto va fatta secondo i soliti procedimenti dello studio delle funzioni in generale!

Occorre calcolare se esiste il Max Assoluto in un certo intervallo della funzione utilizzando lo studio del segno della derivata per gli eventuali punti di max relativo dove la funzione è derivabile, confrontando poi le quote di tutti i max relativi con quelle dei punti estremi dell'intervallo e dei punti dove la funzione non risulta derivabile. La quota maggiore tra tutte quelle trovate rappresenta il Max Assoluto.

Nel caso poi di presenza di punti di discontinuità occorre calcolare il limite verso quei punti per capire se la funzione assume valori finiti in prossimità di quei punti e quindi eventuali valori di sup, e nel caso di intervalli illimitati occorre fare i limiti all'infinito per dedurre eventuali comportamenti asintotici orizzontali di "atterraggio" della funzione su quote finite (saranno anche queste un possibile sup)

Riguardo alla convergenza totale, questo concetto ha più senso introdurlo quando le funzioni della successione vengono sommate e quindi per le "serie" di funzioni. Tieni presente che le questioni di convergenza puntuale, uniforme e totale sono più importanti per le "serie" di funzioni piuttosto che per le "successioni". Infatti uno dei motivi per cui è importante avere la convergenza uniforme delle "serie" di funzioni e che con la convergenza uniforme si riescono a garantire determinate fondamentali operazioni come quella del passaggio al limite sotto al segno di integrale o di serie, lo scambio del segno di serie con quello di integrale e lo scambio dell'operatore di derivata con quello di integrale, operazioni che non funzionerebbero se la convergenza della serie è solo puntuale.

In altre parole le serie di funzioni in generale hanno problemi con i limiti, le derivate e gli integrali. Esse non permettono "il passaggio" di questi operatori attraverso il simbolo di serie, cioè in generale NON si hanno le seguenti uguaglianze:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \,[\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {{f_n}(x)} ] = \sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {f_n}(x)]} \]
\[\int\limits_a^b {[\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {{f_n}(x)} } ]\;dx = \sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {[\int\limits_a^b {{f_n}(x)\;dx]} } \]
\[\frac{d}{{dx}}[\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {{f_n}(x)} ] = \sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{d}{{dx}}[{f_n}(x)]} \]
Si dimostra invece che tali uguaglianze sono garantite solo se la serie di funzioni e "uniformemente" convergente!!

Saluti.

[nuccio88]

Buongiorno, per favore mi faresti degli esempi pratici di ricerca del sup, magari nel contesto di studio di successioni di funzioni? Di solito negli esercizi svolti questi passaggi vengono del tutto saltati!

La ricerca dei punti di massimo relativo riesco a farla invece.
Ma dire massimo assoluto o estremo superiore è la stessa cosa???

[maurizio.schirinzi]

Massimo ed estremo superiore sono 2 cose diverse che possono a volte coincidere.
Il massimo è il più alto valore di quota che "assume effettivamente" una funzione in un intervallo, il sup è il più alto valore di "tendenza di quota" a cui la funzione tende senza riuscire a raggiungerlo: tendenza di limite in prossimità di un punto dove ad esempio la funzione potrebbe non esistere (discontinuità di 3° specie) o atterraggio asintotico su una quota di tendenza (asintoti orizzontali).

Riguardo alla tua richiesta di esempi sulla ricerca del sup nelle successioni di funzioni non esiste un procedimento universale (da qui la difficoltà di quel tipo di studio); ogni caso va valutato singolarmente e a volte occorre inventarsi qualche giochetto algebrico per raggiungere il risultato.

Ecco un esempio di successione di funzioni:
\[{f_n}(x) = \sqrt {{x^2} + \frac{1}{n}} \]
analizziamo la convergenza puntuale verso una funzione limite (pensando x fissato)
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {f_n}(x) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt {{x^2} + \frac{1}{n}} = \left| x \right|\]
dunque la funzione limite sarà
\[f(x) = \left| x \right|\]
calcoliamo ora il $\mathop {\sup }\limits_{x \in R\:} \left| {{f_n}(x) - f(x)} \right|$ ma prima cerchiamo una maggiorazione della quantità $\left| {{f_n}(x) - f(x)} \right|$
\[\left| {{f_n}(x) - f(x)} \right| = \left| {\sqrt {{x^2} + \frac{1}{n}} - \left| x \right|} \right| = \left| {\frac{{(\sqrt {{x^2} + \frac{1}{n}} - \left| x \right|)\;(\sqrt {{x^2} + \frac{1}{n}} + \left| x \right|)}}{{\sqrt {{x^2} + \frac{1}{n}} + \left| x \right|}}} \right| = \]
\[ = \left| {\frac{{{x^2} + \frac{1}{n} - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + \frac{1}{n}} + \left| x \right|}}} \right| = \left| {\frac{{\frac{1}{n}}}{{\sqrt {{x^2} + \frac{1}{n}} + \left| x \right|}}} \right| \le \frac{{\frac{1}{n}}}{{\sqrt {\frac{1}{n}} }} = \frac{{\sqrt n }}{n} = \frac{{\sqrt n \sqrt n }}{{n\sqrt n }} = \frac{1}{{\sqrt n }}\]
dove il valore assoluto è stato tolto per ovvi motivi di positività degli oggetti finali! ...
inoltre la maggiorazione avviene perchè se penso di eliminare i due termini positivi (${{x^2}}$ e ${\left| x \right|}$) a denominatore della frazione è ovvio che il denominatore diventa più piccolo e quindi la frazione aumenta! ... (lo so che queste cose i prof. universitari non le dicono!! ... loro continuano ad essere convinti che lo studente le conosce perfettamente!! ... ma continueranno a sbagliarsi didatticamente all'infinito! )

dunque abbiamo
\[\mathop {\sup }\limits_{x \in R\:} \left| {{f_n}(x) - f(x)} \right| = \frac{1}{{\sqrt n }}\]
pertanto facendo il limite del sup
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \mathop {\sup }\limits_{x \in R\:} \left| {{f_n}(x) - f(x)} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{\sqrt n }} = 0\]
e dunque la successione converge uniformemente!!

Inoltre ti consiglio di guardare molto bene le seguenti dispense di esercizi dove troverai altri esempi con altre tecniche e alcuni esempi anche di maggiorazioni.

Successioni di Funzioni - Esercizi Svolti
Successioni e Serie di Funzioni - Esercizi Svolti

Saluti.

[nuccio88]

In base a quale criterio decido se calcolare il sup tramite maggiorazioni oppure tramite derivata prima?
Un altro esempio secondo questa ultima modalità potresti farlo per favore, evidenziando possibilmente i vari passi che prima mi hai elencato che non mi sono del tutto chiari (faccio riferimento alle due condizioni che hai detto devono essere soddisfatte, e al discorso sul massimo assoluto)?

La convenienza se procedere in un verso piuttosto che nell'altro come faccio a notarla?

Nel sup calcolato la variabile x non ci deve essere mai?

[maurizio.schirinzi]

Ti ripeto ancora una volta che non esiste un criterio con cui fare una scelta, dipende dalla complicazione, dalla possibilità o dalla convenienza di un metodo piuttosto che di un altro; d'altra parte stiamo parlando di "tecniche" e non di "teoremi", "regole" o "criteri" da usare!

Nelle dispense che ti ho indicato ci sono molti esempi nei diversi casi con tutte le spiegazioni caso per caso!

L'unico modo per imparare ad affrontare questo tipo di esercizi è con l'esperienza acquisita studiando tantissimi esercizi e provando a rifarli più volte!

Il sup deve essere qualcosa che se dipende da x va maggiorato con qualcos'altro che non dipende da x oppure pensato con x fissato (per esempio ponendo x=a).

[nuccio88]

Ma studiando la derivata prima della successione di funzioni, se nell'intervallo di convergenza puntuale ho un solo massimo relativo, questo sarà il sup?

Se invece studiando la derivata prima trovo più massimi relativi come scelgo l'estremo superiore?

Ma la derivata prima posso studiarla in qualsiasi caso o prima devo verificare il soddisfacimento di qualche condizione? Prima non ho ben capito!

[maurizio.schirinzi]

Se esiste un massimo assoluto in un certo intervallo quello è anche estremo superiore!

In caso di più massimi relativi quello di più alta quota è il massimo assoluto, se non ci sono altri punti particolari di quote più alte come ad esempio punti di confine dell'intervallo di dominio o punti di non derivabilità.

La derivata puoi studiarla come hai sempre fatto per qualsiasi funzione nello studio delle funzioni!

[nuccio88]

Ciao, data una successione di funzioni come faccio a capire nell'immediato se essa è dotata di massimo assoluto (e quindi in questo caso so di dover studiare il segno della derivata prima) oppure se devo soltanto impostare delle maggiorazioni? Devo sfruttare il teorema di Weierstrass per caso?

[maurizio.schirinzi]

Il teorema di Weierstrass serve solo per capire se una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato è dotata di massimo e minimo!

Quindi se hai a che fare con una successione di funzioni continue definite su un intervallo chiuso e limitato il teorema ti assicura l'esistenza del massimo e del minimo assoluto, ma ovviamente trovarli poi è un altro discorso.

Dovrai quindi ricorrere alle solite tecniche di ricerca dei massimi e minimi! ... La tecnica da utilizzare va valutata sempre caso per caso su ogni singolo esercizio! ... Come abbiamo già detto più volte non esistono regole e procedimenti universali!!

[nuccio88]

Come faccio a capire se si tratta di successione di funzioni continue? Per favore mi fai anche degli esempi di successioni di funzioni continue e non?

Ma se non posso applicare il teorema di Weierstrass, allora devo necessariamente andare a studiare la derivata prima per capire se esiste il massimo assoluto, che mi coinciderà con l'estremo superiore? E nel caso in cui non c'è massimo assoluto nell'intervallo di interesse allora sono costretto a ricorrere ad altri ragionamenti,giusto o mi sbaglio?

[maurizio.schirinzi]

Credo che tu stia complicando troppo la questione!! ... Lo studio della continuità delle funzioni si fa come come si è sempre fatto per lo studio delle funzioni in Analisi 1. Il sito è pieno zeppo di video-tutorials sulla questione della continuità!

Analogamente la ricerca dei massimi e minimi relativi e assoluti su un intervallo va fatta con le solite tecniche dello studio delle funzioni!

Una successione di funzioni non è niente di cosi diverso da una funzione "normalissima" con la differenza che sono tante funzioni ciascuna per ciascun valore di n!!

Nelle dispense che ti ho già indicato in altri post sulle successioni di funzioni ci sono esempi dettagliatissimi su tutte queste questioni di studio e ricerca dei max e sup per le successioni di funzioni! ... Non devi far altro che leggerli, studiarli, rileggerli e ancora studiarli e ancora rileggerli ATTENTAMENTE ... e vedrai che non avrai più problemi!