Convergenza puntuale e uniforme di successione di funzioni

[nuccio88]

Ciao a tutti .. non capisco la tecnica da adottare allo studio della convergenza puntuale e uniforme delle successioni di funzioni. Vi propongo questa:
\[{f_n}(x) = \frac{{n\,{x^{1/3}}}}{{1 + {n^2}{x^2}}}\]
Dinanzi ad una successione di funzioni quali considerazioni è necessario fare per poter iniziare? Per favore aiutatemi a capire come procedere e ditemi se esistono magari dei tool matematici per la verifica dei risultati.

[EDIT Admin] Correzione codice LaTex

[maurizio.schirinzi]

Ciao, fermo restando che gli argomenti che vuoi affrontare richiedono almeno un mesetto di corso di Analisi 2, vediamo lo svolgimento dell'esercizio proposto, ... mentre per quanto riguarda la domanda inerente i metodi per lo studio delle varie convergenze non è possibile rispondere a meno di non scrivere un paio di capitoli di un libro di Analisi 2 !!
\[{f_n}(x) = \frac{{n\,{x^{1/3}}}}{{1 + {n^2}{x^2}}} = \frac{{n\,\sqrt[3]{x}}}{{1 + {n^2}{x^2}}}\]
[EDIT Admin] - Correzione
La domanda del topic si riferisce alle successioni! ... Lo studio fatto in questo post si riferisce alla "serie" della successione data! ...
Vedi il post successivo per lo studio della successione!

Per studiare la convergenza puntuale della serie non ci sono particolari problemi; fissato x si ha:
\[\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {{f_n}(x)} = \sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{{n\,\sqrt[3]{x}}}{{1 + {n^2}{x^2}}}} \]
si vede immediatamente che con x fissato la serie numerica asintoticamente equivalente non converge (a parte il caso banale per x=0 di funzione identicamente nulla)
\[\frac{{n\,\sqrt[3]{x}}}{{1 + {n^2}{x^2}}}\mathop \sim \limits_{n \to + \infty } \frac{{n\,\sqrt[3]{x}}}{{{n^2}{x^2}}} = \frac{{\sqrt[3]{x}}}{{{x^2}}}\frac{1}{n}\]
infatti si tratta della serie armonica che diverge
\[\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{1}{n} = + \infty } \]
dunque la serie di funzioni non converge puntualmente e pertanto non può convergere ne uniformemente ne totalmente; si ricordi infatti che la convergenza totale implica la uniforme che a sua volta implica la puntuale, ma se quest'ultima non è vera allora non saranno vere anche le altre!!

In attesa dei futuri video-tutorials su questi argomenti ti consiglio di dare un'occhiata alle seguenti utilissime dispense di esercizi svolti su questi argomenti:

Serie di Funzioni - Esercizi Svolti
Successioni e Serie di Funzioni - Esercizi Svolti
Successione e Serie di Funzioni (Teoria)

Saluti.


NB: Ti prego in futuro di imparare ad usare Equation Editor per scrivere correttamente le formule matematiche nel forum in modo che tutti i post siano più leggibili e rendano gli utenti più disponibili a rispondere alle tue domande! ... Grazie! ... Lo User Admin provvederà alla correzione del codice LaTex per questo topic.

[nuccio88]

ok, grazie mille per la tua spiegazione!

[maurizio.schirinzi]

Ciao, riguardando questo topic mi sono accorto che ti ho risposto sulla convergenza della "Serie di Funzioni" e non come avevi richiesto sulla "Successione di Funzioni". Ti prego di scusami ma stavo rispondendo contemporanemente ad un altro post sulle serie e ho svolto anche il tuo esercizio come serie!

Ecco dunque lo svolgimento per la convergenza puntuale e uniforme della successione di funzioni
\[{f_n}(x) = \frac{{n{\mkern 1mu} {x^{1/3}}}}{{1 + {n^2}{x^2}}}\]
Per la convergenza puntuale si ha (per x fissato)
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n{\mkern 1mu} {x^{1/3}}}}{{1 + {n^2}{x^2}}} \simeq \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n{\mkern 1mu} {x^{1/3}}}}{{{n^2}{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{n\,{x^{5/3}}}} = 0\;\;\;\forall x \ne 0\]
dunque la successione di funzioni converge puntualmente alla funzione costante nulla
\[f(x) = 0\]
si noti che per x=0 si ha anche
\[x = 0\;\;\; \to \;\;\;{f_n}(x) = 0\]

Per la convergenza uniforme si ha:
\[\left| {{f_n}(x) - f(x)} \right| = \left| {\frac{{n{\mkern 1mu} {x^{1/3}}}}{{1 + {n^2}{x^2}}} - 0} \right| = \left| {\frac{{n{\mkern 1mu} {x^{1/3}}}}{{1 + {n^2}{x^2}}}} \right| \le \left| {\frac{{n{\mkern 1mu} {x^{1/3}}}}{{{n^2}{x^2}}}} \right| = \left| {\frac{1}{{n\,{x^{5/3}}}}} \right| \le \frac{1}{{n\,{a^{5/3}}}}\]
\[\forall x \in [a, + \infty [\;\;\;a > 0\]
e pertanto si ha
\[\mathop {\sup }\limits_{x \in [a, + \infty [\;} \left| {{f_n}(x) - f(x)} \right| \le \frac{1}{{n\,{a^{5/3}}}}\;\;\;\mathop \to \limits_{n \to + \infty } \;\;\;0\]
che significa, per definizione, convergenza uniforme della successione!

Saluti.

[nuccio88]

Grazie mille!!!

[nuccio88]

Ciao, non ho capito nello studio della convergenza uniforme perché scrivi quella lunga serie di disuguaglianze? In particolare non mi è chiara la disuguaglianza finale, quella in cui hai eliminato il valore assoluto.

Inoltre ti chiedo se la successione di funzioni è uniformemente convergente solo nell'intervallo [a, +inf) e il perché hai scelto proprio questo intervallo. Grazie.

[maurizio.schirinzi]

Si ricordi che per definzione di convergenza uniforme di una successione di funzioni su un intervallo I deve accadere che:
\[\forall \varepsilon > 0\;\;,\;\;\exists {n_\varepsilon } \in N\;\;,\;\;\forall x \in I\;\;,\;\;\forall n > {n_\varepsilon }\;\;,\;\;\;\left| {{f_n}(x) - f(x)} \right| < \varepsilon \]
la catena di disuguaglianze serve per trovare una maggiorazione (sup) della differenza ${{f_n}(x) - f(x)}$ in valore assoluto; se si riesce a trovare in modo che vale per ogni x di un certo intervallo allora abbiamo trovato l'estremo superiore della successione di funzioni e quindi se
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \;\mathop {\sup }\limits_{x \in I\:} \left| {{f_n}(x) - f(x)} \right| = 0\] allora la successione di funzioni è uniformemente convergente nell'intervallo I.

Il valore assoluto nel passaggio finale è stato tolto perchè non serve (a>0 con a fissato); cioè per ogni a>0 fissato esiste un estremo superiore che maggiora la differenza ${{f_n}(x) - f(x)}$ in valore assoluto, e poichè il limite di questo sup tende a zero, per n tendente a infinito, possiamo concludere che la successione è uniformemente convergente.

Il concetto di convergenza uniforme di una successione di funzioni non è di facile comprensione, specialmente come viene formulato didatticamente nella maggior parte dei libri di testo e a lezione nei corsi universitari. Speriamo in futuro di fare più chiarezza su questi concetti con appropriati e numerosi video-tutorials sull'argomento. Per ora spero di esserti stato di aiuto limitatamente a quanto si può riuscire a far capire nei limiti di questi post di un forum.

[nuccio88]

Per quanto riguarda lo studio della convergenza puntuale della successione di funzioni, non vale la condizione necessaria ma non sufficiente di convergenza delle serie? Oppure basta semplicemente calcolare il limite per n tendente a infinito della successione di funzioni, con x fissato?

[maurizio.schirinzi]

Le "serie" qui non c'entrano nulla! ... Stiamo parlando di "successione" di funzioni! ...

Per la convergenza puntuale devi semplicemente pensare x fissato e fare il limite per n tendente a infinito!!

[nuccio88]

Dunque la successione di funzioni studiata nel nostro caso è puntualmente convergente per ogni x diverso da 0, e uniformemente convergente nell'intervallo [a, + infinito), con a>0 ? è questo il risultato finale?

Inoltre ti chiedo .. nel ragionamento di tipo disequativo che hai fatto, alla fine il valore assoluto va tolto sempre e comunque fissando la x in un certo intervallo?

Grazie!

[maurizio.schirinzi]

Si il risultato è quello!

Il valore assoluto va tolto perchè l'obbiettivo è trovare una quantità positiva che maggiora la $\left| {{f_n}(x) - f(x)} \right|$ cioè il valore di $\varepsilon $.

Leggi attentamente la definizione di uniforme convergenza! ... Anche se sembra troppo astratta, li c'è scritto tutto!

\[\forall \varepsilon > 0\;\;,\;\;\exists {n_\varepsilon } \in N\;\;,\;\;\forall x \in I\;\;,\;\;\forall n > {n_\varepsilon }\;\;,\;\;\;\left| {{f_n}(x) - f(x)} \right| < \varepsilon \]

Saluti.

[nuccio88]

Buongiorno, nella dispensa che mi hai consigliato (successioni e serie di funzioni - esercizi svolti) non mi è chiara la strategia generale di cui si parla a pagina 2. Per favore potresti spiegarmela e dirmi anche in alternativa come si può studiare la convergenza uniforme nell'esercizio 2? Grazie!

[maurizio.schirinzi]

Ecco un esempio di casi in cui occorre ricorrere ad altri artifici o trucchi per poter gestire lo studio della convergenza uniforme che altrimenti sarebbe impossibile o troppo complesso con i metodi soliti di cui abbiamo parlato! ...
\[{f_n}(x) = 1 + n\;sen(\frac{{x\,acrtg(x)\,\ln ({x^2} + 1)}}{{{n^2}}})\]
Provando a fare la derivata ti rendi conto della complessità dei calcoli e dell'impossibilità di trovare i max o min con il solito metodo dello studio del segno della derivata prima!

Si tratta ovviamente di esercizi più avanzati e quindi "non tipici" che di solito non dovrebbero essere proposti nei compiti d'esame ma dovrebbero essere proposti solo come contro-esempi istruttivi rispetto alle tecniche più generali!

Per la convergenza puntuale non ci sono particolari problemi: basta fare il solito limite che darà la funzione limite f(x)=1.

Per lo studio della convergenza uniforme si ragiona al contrario e cioè cercando di trovare una successione di punti x per i quali il seno vale 1 e quindi per quelle x la successione dei valori delle funzioni diventerebbe \[{f_n}(x) = 1 + n\] che quindi avrebbe estremo superiore infinito che confermerebbe la NON convergenza uniforme.

Sui passaggi e i ragionamenti non c'è da spiegare nulla di più di quello che è già riportato nella dispensa e che è molto dettagliato.

In allegato l'esercizio specifico.

Saluti.