Serie di potenze

[nuccio88]

Buonasera, data la seguente serie di funzioni:

$\frac{2^n (x+1)^n}{5^n+1}$
(con n che va da 1 a infinito)

come conviene studiare la convergenza puntuale e uniforme? Devo trattarla come serie di potenze? Se la risposta è si cosa scelgo come An?

[maurizio.schirinzi]

Dovè la serie? ... da quello che hai scritto io vedo una successione di funzioni!! ...

Ti prego di scrivere correttamente le formule matematiche e usare la terminologia appropriata! ... Grazie!

[nuccio88]

$\sum _{n=1}^{\infty } \frac{2^n (x+1)^n}{5^n+1}$

Inoltre, nel caso in cui in una serie di potenze avessi come esponente di x il valore (n+1) piuttosto che n, il coefficiente della serie di funzioni sarà A(n+1)? Se dovessi applicare poi il criterio del rapporto, cosa dovrei prendere come An e come A(n+1)?

[maurizio.schirinzi]

Ciao, \[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{{{2^n}{{(x + 1)}^n}}}{{{5^n} + 1}}} \]
analizzando subito la convergenza totale si ha
\[\left| {\frac{{{2^n}{{(x + 1)}^n}}}{{{5^n} + 1}}} \right| \le \left| {\frac{{{2^n}{{(x + 1)}^n}}}{{{5^n}}}} \right| = \left| {\frac{{{{[2(x + 1)]}^n}}}{{{5^n}}}} \right| = \left| {\frac{{{{(2x + 2)}^n}}}{{{5^n}}}} \right| = \left| {{{(\frac{{2x + 2}}{5})}^n}} \right|\]
poichè la serie
\[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {{{(\frac{{2x + 2}}{5})}^n}} \]
per x fissato è una serie geometrica che converge se
\[\left| {\frac{{2x + 2}}{5}} \right| < 1\]
si avrà
\[\left| {\frac{{2x + 2}}{5}} \right| < 1\;\;\; \to \;\;\; - 1 < \frac{{2x + 2}}{5} < 1\;\;\; \to \;\;\; - 5 < 2x + 2 < 5\;\;\; \to \]
\[ \to \;\;\; - 5 - 2 < 2x < 5 - 2\;\;\; \to \;\;\; - 7 < 2x < 3\;\;\; \to \;\;\; - \frac{7}{2} < x < \frac{3}{2}\]
quindi
\[\left| {{{(\frac{{2x + 2}}{5})}^n}} \right| \le \left| {{{(\frac{{2a + 2}}{5})}^n}} \right|\]
con \[ - \frac{7}{2} < x \le a < \frac{3}{2}\]
e dunque la nostra serie sarà totalmente convergente nel dominio
\[ - \frac{7}{2} < x < \frac{3}{2}\]
e pertanto sarà anche uniformemente e puntualmente convergente nello stesso dominio di convergenza!

In risposta alla tua domanda finale i termini di una serie ${a_n}$ vanno sempre considerati cosi come sono scritti in funzione di n ... e quindi se devo considerare gli eventuali ${a_{n + 1}}$ aggiungerò semplicemente un 1 ovunque c'è un n!!

Saluti.

[nuccio88]

Buonasera Maurizio! La mia domanda relativa agli An era dovuta al fatto che nello studio della seguente serie di funzioni, trovata in rete:

$\sum _{n=1}^{\infty } \left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{n^2} x^{4 n}$

davanti a $x^{4 n}$ non si assume la presenza del coefficiente An, bensì quella di A4n (essendo la x elevata a 4n). Dunque, si pone y = $x^{4}$, si trova il raggio di convergenza rispetto a y e alla fine lo si trova rispetto ad x. è sbagliato procedere così quindi? Oppure si risolve in altra maniera?

[maurizio.schirinzi]

No, non è sbagliato procedere cosi! ... La serie si può sempre riscrivere così:
\[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {{{\left( {\frac{{n - 1}}{{n + 1}}} \right)}^{{n^2}}}{x^{4n}}} = \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {{{\left( {\frac{{n - 1}}{{n + 1}}} \right)}^{{n^2}}}{{({x^4})}^n}} = \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {{{\left( {\frac{{n - 1}}{{n + 1}}} \right)}^{{n^2}}}{y^n}} \]
avendo posto $y = {x^4}$

Per quanto riguarda gli ${a_n}$, con la serie riscritta rispetto a y, gli ${a_n}$ (coefficienti del polinomio della serie di potenze) saranno
\[{a_n} = {\left( {\frac{{n - 1}}{{n + 1}}} \right)^{{n^2}}}\]
Se guardiamo il polinomio rispetto a x è chiaro che, mancando i termini dispari e non multipli di 4, i coefficienti ad essi associati sono zero (prova a sviluppare per esteso il polinomio della serie di potenze in x per n=1,2,3...); quindi un modo per indicare i coefficienti non nulli rispetto a x è:
\[{a_{4n}} = {\left( {\frac{{n - 1}}{{n + 1}}} \right)^{{n^2}}}\]
anche se dal punto di vista pratico è una inutile "pignoleria" matematica!!

Saluti.

[nuccio88]

E allora come mai se in una serie di potenze avessi come esponente di x il valore (n+1), il coefficiente davanti hai detto che devo sempre assumerlo come An? Non dovrei assumerlo come A(n+1)?

Quindi non sempre i coefficienti An vanno considerati così come sono scritti in funzione di n? Dipende tutto dalla potenza di (x-x0)?

[maurizio.schirinzi]

Quando ho detto che gli ${{a_n}}$ in una serie sono sempre ${{a_n}}$ mi riferivo al termine generico di una serie indicato sempre con ${{a_n}}$ a prescidere dalla sua formulazione matematica in funzione di n. Diversa è la questione "formale-estetica" di indicare i coefficienti di un polinomio con la stessa "sequenza" ordinata della potenza della x.

Ecco di seguito degli esempi simbolici dove, a parte il formalismo "estetico" di come chiamo i coefficienti (potrei anche chiamarli pippo1 paperino2 ecc...), dal punto di vista pratico non cambia nulla specialmente se poi n deve tendere ad infinito. E' chiaro che nei ragionamenti della teoria conviene sempre mantenere una certa congruenza formale-estetica dei nomi per evitare di confondersi nei ragionamenti.

\[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {{a_n}\,{x^n}} = {a_1}{x^1} + {a_2}{x^2} + {a_3}{x^3} + {a_4}{x^4} + {a_5}{x^5} + \;...\]
\[\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {{a_{n + 1}}\,{x^{n + 1}}} = {a_1}{x^1} + {a_2}{x^2} + {a_3}{x^3} + {a_4}{x^4} + {a_5}{x^5} + \;...\]
\[\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {{a_n}\,{x^{n + 1}}} = {a_0}{x^1} + {a_1}{x^2} + {a_2}{x^3} + {a_3}{x^4} + {a_4}{x^5} + \;...\]
E' chiaro che mentre le prime due serie sono praticamente identiche numericamente (si noti che la seconda serie parte da n=0), l'ultima ha i coefficienti delle x traslati e, a parità di espressione matematica degli ${{a_n}}$, i coefficienti dell'ultima serie sono diversi per le stesse potenze della x.

Se invece si vuole mettere in evidenza il fatto che alcuni termini (ad esempio quelli di grado dispari) possono mancare allora si deve rigorosamente indicare la presenza dei soli termini di grado pari cioè
\[\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {{a_{2n}}\,{x^{2n}}} \]
pensa ad esempio allo sviluppo in serie del coseno che viene indicato cosi:
\[\cos (x) = \sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {{{( - 1)}^n}\,\frac{{{x^{2n}}}}{{(2n)!}}} \]
perchè i soli termini diversi da zero sono quelli di grado pari!

Ma se in quest'ultima serie ci si vuole riferire comunque al termine generico della serie allora si ha
\[{a_n} = {( - 1)^n}\,\frac{{{x^{2n}}}}{{(2n)!}}\]
cioè
\[\cos (x) = \sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {{{( - 1)}^n}\,\frac{{{x^{2n}}}}{{(2n)!}}} = \sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {{a_n}} \]
E' questo che intendevo quando mi riferivo agli ${{a_n}}$ in generale!

Saluti.

[nuccio88]

Quindi in definitiva se la x ha come esponente (n+2) dire che il coefficiente davanti é A(n+2) o An cambia qualcosa o no ai fini soprattutto del calcolo del raggio di convergenza, fatto per esempio con il criterio del rapporto? puoi farmi un esempio pratico per favore?

[maurizio.schirinzi]

Continui a perderti in un bicchier d'acqua ... o forse non sono stato abbastanza chiaro!

Sia data la serie di potenze:
\[\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\,\frac{{(2n + 1)}}{{(2n)!}}{x^{2n}}} \]
mi spieghi che differenza fa se scrivo che
\[{a_n} = \frac{{(2n + 1)}}{{(2n)!}}\]
oppure se scrivo che
\[{a_{2n}} = \frac{{(2n + 1)}}{{(2n)!}}\]
i coefficienti del polinomio non sono comunque numericamente sempre gli stessi per ogni valore di n??

Inoltre se ad esempio per il criterio del rapporto devo scrivere gli ${a_{n + 1}}$, cosa cambia se scrivo
\[{a_{n + 1}} = \frac{{(2(n + 1) + 1)}}{{(2(n + 1))!}}\]
oppure se scrivo
\[{a_{2(n + 1)}} = \frac{{(2(n + 1) + 1)}}{{(2(n + 1))!}} = \frac{{(2n + 2 + 1)}}{{(2n + 2)!}} = {a_{2n + 2}}\]
non è forse la stessa cosa dal punto di vista pratico e del valore che assumono i coefficienti? ...
non sono uguali numericamente per ogni valore di n?

Scrivere gli ${a_{n + 1}}$ vuol dire "sostituire" n+1 al posto di n, comunque sia fatta l'espressione matematica degli ${a_{n}}$ o degli ${a_{2n}}$, comunque tu gli voglia chiamare!

Ripeto è solo un formalismo "simbolico" quello di scrivere ${a_n}$ oppure ${a_{2n}}$, e lo si fa solo per evidenziare (quando serve come nel caso dell'esempio dello sviluppo del coseno per i motivi che ti ho detto) che c'è una dipendenza esplicita da 2n, cioè l'espressione degli ${a_{n}}$ è "tutta" funzione di 2n, piuttosto che da n (ci sono dunque simbolicamente solo i termini pari!), ma tutto ciò ai fini pratici del calcolo serve a ben poco!

Spero ora di essere stato abbastanza chiaro.

Saluti.