Studio di convergenza uniforme su sottoinsiemi di R

[nuccio88]

Ciao, non riesco a stabilire su quali sottoinsiemi di R la seguente successione di funzioni converge uniformemente a f(x) = 0:

Fn(x) = $\text{xne}^{-n^2 x^2}$

Come si procede in questi casi?

[maurizio.schirinzi]

Ciao, \[{f_n}(x) = n\,x\,{e^{ - {n^2}{x^2}}}\]
Devi usare il metodo della derivata per trovare il max assoluto=sup; derivando rispetto a x la successione di funzioni si ha:
\[{f_n}'(x) = n\,[\,{e^{ - {n^2}{x^2}}} + x\,{e^{ - {n^2}{x^2}}}( - 2{n^2})] = n\,{e^{ - {n^2}{x^2}}}[1 - 2{n^2}x]\]
[Edit] Errore di calcolo nella derivata - Vedi correzione nel post successivo

da cui studiando il segno della derivata si trova un massimo in $x = \frac{1}{{2{n^2}}}\;$ da cui calcolando la quota della funzione si trova il valore del massimo=sup
\[x = \frac{1}{{2{n^2}}}\;\;\; \to \;\;\;{f_n}(\frac{1}{{2{n^2}}}) = n\frac{1}{{{n^2}}}{e^{ - {n^2}\frac{1}{{4{n^4}}}}} = \frac{1}{{2n}}{e^{ - \frac{1}{{4n}}}}\]
dunque per la convergenza uniforme si avrà
\[\left| {{f_n}(x) - f(x)} \right| = \left| {{f_n}(x) - 0} \right| = n\,x\,{e^{ - {n^2}{x^2}}} \le \frac{1}{{2n}}{e^{ - \frac{1}{{4n}}}}\;\;\;\mathop \to \limits_{n \to + \infty } \;\;\;0\]
convergenza uniforme su tutto R !!

Saluti.

[nuccio88]

Non mi tornano i conti. Io ho trovato il punto di massimo in x1 = $\frac{1}{\sqrt{2} n}$ da cui segue che Fn(x1) = $\frac{1}{\sqrt{2 e}}$

Sbaglio io?

[maurizio.schirinzi]

No! ... Hai ragione!! ... scusa! ... mi sono perso una x nel calcolo della derivata! ... Ecco i calcoli corretti:
\[{f_n}(x) = n\,x\,{e^{ - {n^2}{x^2}}}\]
\[{f_n}'(x) = n\,[\,{e^{ - {n^2}{x^2}}} + x\,{e^{ - {n^2}{x^2}}}( - 2{n^2}x)] = n\,{e^{ - {n^2}{x^2}}}[1 - 2{n^2}{x^2}]\]
massimo in
\[x = \frac{1}{{n\sqrt 2 }}\;\;\; \to \;\;\;{f_n}(\frac{1}{{n\sqrt 2 }}) = n\frac{1}{{n\sqrt 2 }}{e^{ - {n^2}\frac{1}{{2{n^2}}}}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}{e^{ - \frac{1}{2}}}\]
\[\left| {{f_n}(x) - f(x)} \right| = \left| {{f_n}(x) - 0} \right| = n\,x\,{e^{ - {n^2}{x^2}}} \le \frac{1}{{\sqrt 2 }}{e^{ - \frac{1}{2}}}\;\;\;\mathop \to \limits_{n \to + \infty } \;\;\; \ne 0\]
allora nessuna convergenza uniforme!

[nuccio88]

E per verificare se c é uniforme continuitá in sottoinsiemi di R, ad esempio in intervalli del tipo [a,b] o del tipo [a,+inf)? É questo ció che l esercizio chiede!

[maurizio.schirinzi]

Cosa c'entra qui la continuità uniforme con la convergenza uniforme?

[nuccio88]

Scusa ma ho sbagliato a scrivere io.. Ovviamente intendevo convergenza uniforme!

[maurizio.schirinzi]

Poichè la successione di funzioni è strettamente decrescente per ogni $x > \frac{1}{{n\sqrt 2 }}$ (guarda il segno della derivata) allora se consideriamo un punto $x = a > \frac{1}{{n\sqrt 2 }}$ e calcoliamo
\[\;{f_n}(a) = n\,a\,{e^{ - {n^2}{a^2}}}\]
ne segue che
\[\left| {{f_n}(x) - f(x)} \right| = \left| {{f_n}(x) - 0} \right| = n\,x\,{e^{ - {n^2}{x^2}}} \le n\,a\,{e^{ - {n^2}{a^2}}}\;\;\;\mathop \to \limits_{n \to + \infty } \;\;\;0\]
pertanto si ha convergenza uniforme su ogni intervallo del tipo $[a, + \infty [$

Saluti.