Serie con il criterio del confronto asintotico

[gloria]

salve,
volevo sapere se avevo svolto correttamente tale serie,purtroppo non ho i risultati !
\[\sum_{1}^{infinity} \frac{n+1}{\sqrt[3]{n^4}}\]
io l'ho svolta applicando il metodo del confronto asintotico con la \[\sum_{1}^{infinity} \frac{1}{n^\frac{4}{3}}\] che so essere convergente.
\[\lim_{n\rightarrow infinito} \frac{n+1}{n^\frac{4}{3}} n^\frac{4}{3} = infinito\]
quindi in questo caso posso solo dire che date due serie \[u_n\leq v_n\]
se u_n converge allora anche v_n converge,se v_n diverge anche u_n diverge allora ho detto che \[\frac{n+1}{n^\frac{4}{3}}\geq \frac{1}{n^\frac{4}{3}}\]
e ne ho concluso che la serie converge

[maurizio.schirinzi]

No !! ... prima di tutto non confondere il criterio del confronto "asintotico" con il criterio del confronto (a livello disequativo) !!
\[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{{n + 1}}{{\sqrt[3]{{{n^4}}}}}} \]
Utilizzando il criterio del confronto "asintotico" basta studiare il comportamento asintotico dei termini della serie per n molto grande, cioè vedere a cosa "assomigliano" i termini della serie quando n è molto grande:
\[\frac{{n + 1}}{{\sqrt[3]{{{n^4}}}}}\mathop \sim \limits_{n \to + \infty } \frac{n}{{\sqrt[3]{{{n^4}}}}} = \frac{n}{{{n^{4/3}}}} = \frac{1}{{{n^{\frac{4}{3} - 1}}}} = \frac{1}{{{n^{1/3}}}}\]
poichè dunque i termini della nostra serie "assomigliano" asintoticamente (per n molto grande) ai termini di una serie armonica con a denominatore un esponente minore di 1, la quale sappiamo che diverge a +infinito
\[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{{n^{1/3}}}}} = + \infty \]
allora la nostra serie diverge anch'essa a +infinito !!

Saluti.