Calcolare la somma della serie di potenze

[gloria]

salve,
ho questa serie \[\sum_{1}^{infinito} n(n+1)x^{n-1}\] di cui voglio calcolare la somma utilizzando i teoremi sulle serie totalmente convergenti.Ho verificato che la serie è totalmente convergente in (-1,1).
Da qui cominciano i problemi,solitamente io scrivo i termini della serie ,in quest caso \[\sum_{1}^{infinito} n(n+1)x^{n-1} = 2+2\cdot 3x + 3\cdot 4 x^2...\]
,poi faccio la derivata di questi termi che sarebbe =\[\0 + 2\cdot 3 + 3\cdot 4x...\]
da qui ,per proseguire,dovrei ricavare che questi sono i termini di qualche serie ma non rieesco a capire di quale.
Grazie x il suo aiuto.
saluti

[maurizio.schirinzi]

Ciao, hai provato a gestire la cosa spezzando la serie in 2 cosi ?? :
\[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {n(n + 1){x^{n - 1}}} = \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {{n^2}{x^{n - 1}}} + \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {n\,{x^{n - 1}}} \]
...

[gloria]

a questo punto allora
\[\sum_{1}^{infinito} nx^{n-1} = 1 +2x+3x^2+4x^3......\]
se integro ottengo \[x+x^2+x^3+x^4 =\sum_{1}^{infinito} x^n\] che so convergere a \[\frac{1}{1-x}\] allora \[\sum_{1}^{infinito} nx^{n-1}\] converge a\[\frac{-1}{(1-x)^2}\]


\[\sum_{1}^{infinito} n^2x^{n-1} = 1+4x+9x^2+16x^3...\] ,se la integro ottengo \[x+2x^2+3x^3+4x^4..=\sum_{1}^{infinito}nx^n\] che converge a \[\frac{1}{1-x}\] e quindi anche questa converge a \[\frac{-1}{(1-x^2)}\]
e poi sommo tutto?

[maurizio.schirinzi]

Si! ... la totale convergenza e quindi la uniforme convergenza assicura i passaggi degli operatori di derivata e integrale sotto al simbolo di serie e assicura quindi che la somma delle 2 serie equivale alla somma della serie iniziale!! ...

ma attenzione!! ... c'è un errore!! ...

ricorda che con $\left| x \right| < 1$ si ha:
\[\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {{x^n}} = \frac{1}{{1 - x}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {{x^n}} = \frac{x}{{1 - x}}\]
e
\[\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {n\,{x^n}} = \frac{x}{{{{(x - 1)}^2}}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {n\,{x^n}} = \frac{x}{{{{(x - 1)}^2}}}\]
prova a correggere lo svolgimento e sommare le 2 somme postando poi il risultato finale! ...

[gloria]

ecco ora credo di aver fatto bene
\[\sum_{n=1}^{infinito} nx^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}\]
\[\sum_{n=1}^{infinito} n^2x^{n-1} = \frac{-x-1}{(x-1)^3}\]
ho sommato i due risultati e ottengo
\[\sum_{n=1}^{infinito} n(n+1)x^{n-1} =\frac{-2}{(x-1)^3}\]
...ultima cosa,io non sapevo e non riuscivo a ricavarmi correttamente la somma della serie \[\sum_{n=1}^{infinito} nx^n\],gentilmente mi puo far vedere come si fa? xk io avrei detto che convergeva come la geometrica semplice
Grazie di tutto prof.saluti

[maurizio.schirinzi]

Si !! ... bravissima! ... il risultato è giusto!

Riguardo alla tua richiesta vediamo la dimostrazione della somma della serie di potenze
\[\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {n\,{x^n}} = \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {n\,{x^n}} = \frac{x}{{{{(x - 1)}^2}}}\]
questa dimostrazione è un po difficile da trovare sia su internet che nei libri di testo, a parte la solita frase "si dimostra facilmente che ..." !! ... ma vediamo dunque com'è la storia:

ricordando che per $\left| x \right| < 1$ si ha totale convergenza alla relativa somma per le serie di potenze (geometriche)
\[\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {{x^n}} = \frac{1}{{1 - x}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sum\limits_{n = p}^{ + \infty } {{x^n}} = \frac{{{x^p}}}{{1 - x}}\]
dimostriamo che
\[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {n\,{x^n}} = \frac{x}{{{{(x - 1)}^2}}}\]
riscriviamo la serie cosi (aggiungendo e togliendo ${{x^n}}$ ai termini della serie)
\[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {n\,{x^n}} = \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {[n\,{x^n} + {x^n} - {x^n}]} = \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {[n\,{x^n} + {x^n}]} - \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {{x^n}} = \]
\[ = \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {(n + 1)\,{x^n}} - \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {{x^n}} = \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {(n + 1)\,{x^n}} - \frac{x}{{1 - x}} = *\]
consideriamo dunque la serie
\[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {(n + 1)\,{x^n}} \]
con le solite operazioni di integrazione e poi derivazione attraverso il simbolo di serie (garantite dalla convergenza totale e quindi uniforme) si ha
\[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {(n + 1)\,{x^n}} = \frac{d}{{dx}}\int {[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {(n + 1)\,{x^n}} ]\,dx} = \frac{d}{{dx}}\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\int {(n + 1)\,{x^n}dx} } = \]
\[ = \frac{d}{{dx}}\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {{x^{n + 1}}} \mathop = \limits_{n + 1 = k} \frac{d}{{dx}}\sum\limits_{k = 2}^{ + \infty } {{x^k}} = \frac{d}{{dx}}[\frac{{{x^2}}}{{1 - x}}] = \frac{{2x(1 - x) - {x^2}( - 1)}}{{{{(1 - x)}^2}}} = \]
\[ = \frac{{2x - {x^2}}}{{{{(1 - x)}^2}}}\]
ritornando ora la punto * abbiamo
\[* = \frac{{2x - {x^2}}}{{{{(1 - x)}^2}}} - \frac{x}{{1 - x}} = \frac{{2x - {x^2} - x(1 - x)}}{{{{(1 - x)}^2}}} = \frac{{2x - {x^2} - x + {x^2}}}{{{{(1 - x)}^2}}} = \]
\[ = \frac{x}{{{{(1 - x)}^2}}} = \frac{x}{{{{(x - 1)}^2}}}\]

Saluti