Equazione in campo complesso

[Rokito]

Buongiorno forum Vi chiedo aiuto per quanto riguarda quest'equazione in campo complesso, che non riesco a capire come risolvere, forse usando gli esponenziali?
Vi ringrazio per l'aiuto!

\[\left ( x-iy \right )^6 = \left | z \right |\]

P.S. Ho indicato il coniugato di z con le componenti reali e immaginarie perchè non sapevo come fare il trattino sulla z

[maurizio.schirinzi]

Cioè vuoi dire che l'equazione sarebbe così ? ...
\[{(\overline z )^6} = \left| z \right|\]
con $z = x + iy$

NB: per fare il coniugato se guardi bene nell'equation editor subito sotto tra "Esempi" e "Cronologia" ci sono tutti i vari simboli di apice, sopra, sotto, tratti vari ecc ...

Prova a usare gli esponenziali ponendo
\[z = \rho \,{e^{i\vartheta }}\;\;\;\;\;\overline z = \rho \,{e^{ - i\vartheta }}\]

[Rokito]

Ciao Maurizio, si intendevo quello.
Allora facendo la sostituzione mi viene così ma non so se è corretto:

\[\bar{z}^{6}=\left | z \right |\] Che è equivalente a:

\[\rho^{6} e^{-6i\vartheta }=\rho\]

Allora mi viene \[\rho=0\]

[maurizio.schirinzi]

No! ... c'è un errore piuttosto grave! ... come fai a scrivere $\vartheta = \frac{i}{7}$ ??

Ecco al soluzione:
\[{(\overline z )^6} = \left| z \right|\]
posto
\[z = \rho \,{e^{i\vartheta }}\;\;\;\;\;\overline z = \rho \,{e^{ - i\vartheta }}\]
si ha
\[{(\rho \,{e^{ - i\vartheta }})^6} = \left| {\rho \,{e^{i\vartheta }}} \right|\]
\[{\rho ^6}{e^{ - 6i\vartheta }} = \rho \]
\[{\rho ^6}{e^{ - 6i\vartheta }} - \rho = 0\]
\[\rho \,({\rho ^5}{e^{ - 6i\vartheta }} - 1) = 0\]
con $\rho = 0$ si avrebbe la prima soluzione banale
\[\rho = 0\;\;\; \to \;\;\;z = 0\]
per le altre soluzioni si ha
\[{\rho ^5}{e^{ - 6i\vartheta }} - 1 = 0\]
\[{\rho ^5}{e^{ - 6i\vartheta }} = 1\;\;\; \to \;\;\;{\rho ^5}{e^{ - 6i\vartheta }} = 1\,{e^{i0}}\]
da cui ovviamente sarà
\[\rho = 1\]
e poi
\[ - 6\vartheta = 2k\pi \;\;\; \to \;\;\;\;\vartheta = - k\frac{\pi }{3}\]
esplicitando tutte le soluzioni al variare di k=0,1,2,3,4,5 si avrà
\[k = 0\;\;\; \to \;\;\;\;\vartheta = 0\;\;\; \to \;\;\;\;z = 1\]
\[k = 1\;\;\; \to \;\;\;\;\vartheta = - \frac{\pi }{3}\;\;\; \to \;\;\;\;z = \cos ( - \frac{\pi }{3}) + i\,sen( - \frac{\pi }{3}) = \frac{1}{2} - i\,\frac{{\sqrt 3 }}{2}\]
\[k = 2\;\;\; \to \;\;\;\;\vartheta = - \frac{2}{3}\pi \;\;\; \to \;\;\;\;z = \cos ( - \frac{2}{3}\pi ) + i\,sen( - \frac{2}{3}\pi ) = - \frac{1}{2} - i\,\frac{{\sqrt 3 }}{2}\]
\[k = 3\;\;\; \to \;\;\;\;\vartheta = - \pi \;\;\; \to \;\;\;\;z = \cos ( - \pi ) + i\,sen( - \pi ) = - 1\]
\[k = 4\;\;\; \to \;\;\;\;\vartheta = - \frac{4}{3}\pi \;\;\; \to \;\;\;\;z = \cos ( - \frac{4}{3}\pi ) + i\,sen( - \frac{4}{3}\pi ) = - \frac{1}{2} + i\,\frac{{\sqrt 3 }}{2}\]
\[k = 5\;\;\; \to \;\;\;\;\vartheta = - \frac{5}{3}\pi \;\;\; \to \;\;\;\;z = \cos ( - \frac{5}{3}\pi ) + i\,sen( - \frac{5}{3}\pi ) = \frac{1}{2} + i\,\frac{{\sqrt 3 }}{2}\]

Saluti.

[Rokito]

Grazie mille! In sti giorni ho il cervello un pò cotto e si vede.....