Ciao,
\[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{{\ln (n\,)}}{{{n^{2 - x}}}}} \]
per lo studio della convergenza puntuale (fissato x) basta applicare il criterio del confronto (NON del confronto asintotico!) maggiorando i termini della serie:
\[\frac{{\ln (n\,)}}{{{n^{2 - x}}}} \le \frac{{n\,}}{{{n^{2 - x}}}} = \frac{1}{{{n^{1 - x}}}}\]
poichè sappiamo che la serie armonica generalizzata
\[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{{n^{1 - x}}}}} \;\;\;converge\;per\;\;\;1 - x > 1\;\;\; \to \;\;\;x < 0\]
allora anche la nostra serie converge puntualmente per x<0!
Per la convergenza uniforme basta studiare la convergenza totale (che implica poi la uniforme), trovando una serie maggiorante e convergente i cui termini maggiorano i termini della nostra serie (in valore assoluto) in un certo dominio di convergenza
\[\left| {\frac{{\ln (n\,)}}{{{n^{2 - x}}}}} \right| \le \frac{{n\,}}{{{n^{2 - x}}}} = \frac{1}{{{n^{1 - x}}}} \le \frac{1}{{{n^{1 - a}}}}\;\;(con\;a < 0\;fissato)\]
con
\[1 - x \ge 1 - a\;\;\; \to \;\;\;x \le a < 0\]
poichè la serie
\[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{{n^{1 - a}}}}} \;\;\;converge\;per\;a < 0\]
allora nell'insieme $x \le a < 0$ cioè per $x \in ] - \infty ,a]$ abbiamo la convergenza totale della nostra serie.
Saluti.
NB: Ti prego di abituarti a scrivere le formule correttamente con l'equation editor, facendo un pò di prove con la demo disponibile nelle istruzioni sull'uso dell'equation editor prima di postare le formule nel forum ! ... Grazie!
