Si !! ... anche se c'è qualche imprecisione formale da precisare! ... specialmente quando dici: "l'ho riscritta come serie di potenze..." e poi "ho studiato l'elemento generico..." !!
Attenzione! ... le serie di potenze per definizione sono fatte SOLO cosi:
\[\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {{a_n}{{(x - {x_0})}^n}} \]
qualunque altra forma diversa da questa NON è una serie di potenze!
Detto questo, rivediamo dunque lo svolgimento più formale e rigoroso anche per capire come formalizzare bene ed elegantemente questo tipo di esercizi nei compiti d'esame!
\[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {sen(\frac{{{{(x - 1)}^n}}}{{2n + \sqrt n }})} \]
studiamo la convergenza totale trovando, in un certo dominio delle x, una serie maggiorante che converge:
\[\left| {sen(\frac{{{{(x - 1)}^n}}}{{2n + \sqrt n }})} \right| \le \left| {\frac{{{{(x - 1)}^n}}}{{2n + \sqrt n }}} \right| \le \left| {\frac{{{{(x - 1)}^n}}}{{2n}}} \right| \le \left| {\frac{{{{(a - 1)}^n}}}{{2n}}} \right|\;\;\;con\;\;x \le a\]
studiamo la convergenza della serie numerica
\[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left| {\frac{{{{(a - 1)}^n}}}{{2n}}} \right|} \]
con il criterio del rapporto si ha
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left| {\frac{{\frac{{{{(a - 1)}^{n + 1}}}}{{2(n + 1)}}}}{{\frac{{{{(a - 1)}^n}}}{{2n}}}}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left| {\frac{{{{(a - 1)}^{n + 1}}}}{{2(n + 1)}}\frac{{2n}}{{{{(a - 1)}^n}}}} \right| = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left| {\frac{{n\,(a - 1)}}{{(n + 1)}}} \right| = \left| {a - 1} \right|\]
che dunque converge per
\[\left| {a - 1} \right| < 1\;\;\; \to \;\; - 1 < \;a - 1 < 1\;\;\; \to \;\;0 < \;a < 2\]
quindi la nostra serie di funzioni converge totalmente per
\[0 < \;x \le a < 2\]
cioè nel dominio di convergenza totale
\[\forall x \in ]0,a]\;\;con\;\;0 < a < 2\]
analizziamo ora la convergenza puntuale per i casi particolari x=0 e x=2
\[x = 2\;\;\; \to \;\;\;\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {sen(\frac{{{{(x - 1)}^n}}}{{2n + \sqrt n }})} = \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {sen(\frac{{{{(2 - 1)}^n}}}{{2n + \sqrt n }})} = \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {sen(\frac{1}{{2n + \sqrt n }})} \]
con il criterio del confronto asintotico si ha
\[sen(\frac{1}{{2n + \sqrt n }})\mathop \sim \limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{2n}}\;\;\; \to \;\;\;\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{2n}}} = + \infty \;\;\;diverge!\]
\[x = 0\;\;\; \to \;\;\;\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {sen(\frac{{{{(x - 1)}^n}}}{{2n + \sqrt n }})} = \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {sen(\frac{{{{( - 1)}^n}}}{{2n + \sqrt n }})} = \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {{{( - 1)}^n}sen(\frac{1}{{2n + \sqrt n }})} \]
che essendo una serie a segni alterni la studieremo con il criterio di Leibniz ottenendo
\[sen(\frac{1}{{2n + \sqrt n }})\;\;descrescente\;\;\forall n \ge 1\]
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } sen(\frac{1}{{2n + \sqrt n }}) = 0\]
dunque la serie converge!
Saluti.
