Dimostrazione Teorema di Weierstrass

[Rokito]

Ciao forum,
Ho una domanda sulla dimostrazione del teorema di Weierstrass in \[\mathbb{R}^{n}\]

Supponiamo di dimostrare il teorema nel caso bidimensionale, e poniamo \[M=supf\] come nel caso unidimensionale si procede per dicotomia, costruendo in questo caso una successioni di rettangoli. Bene fino a tutta questa prima parte ci sono. Il mio dubbio è quando si distinguono i due casi: \[M< +\infty\ \ e\ \ M=+\infty\]

Da cui si devono fare due ulteriori dimostrazioni per dire che M non può essere \[+\infty\] Dato che ciò appesantisce abbastanza la dimostrazione, non basterebbe dire che \[M\neq +\infty\] Perchè la funzione è considerata in un insieme LIMITATO? In questo caso escluderei a priori che M non abbia un valore finito e dismotrerei solo che \[M< +\infty\]

Vi ringrazio per l'attenzione!
Ciao

[maurizio.schirinzi]

Ciao, cosa vuol dire "perchè la funzione è considerata in un insieme limitato..." e "allora posso escludere il caso $M = + \infty $..." ??

Attenzione a non confondere la variabile indipendente, che è in un insieme limitato, con i valori che assume la funzione che possono essere illimitati !!

Saluti.

[Rokito]

Perchè se f è definita in un insieme A limitato, dalla definizione di limitatezza segue che è f è definita in una "palla" di centro x e raggio k sufficientemente grande da contenere tutto A, ma minore di infinito, quindi f non può assumere valori maggiori di k (altrimenti sarebbe fuori dalla palla!), e di conseguenza i valori che può assumere sono necessariamente minori di infinito... Sbaglio qualcosa vero?

[maurizio.schirinzi]

Ripeto! ... continui a confondere il dominio (della x) con il codominio e immagine della funzione (la y)!!
Se dici che il dominio A è limitato cosa ti fa pensare che anche il codominio immagine B della funzione è limitato automaticamente?

Ad esempio la funzione
\[y = f(x) = \frac{1}{x}\;\;\;su\;A = [ - 1,1]\]
con A limitato e chiuso, ti sembra una funzione limitata? ... La y non tende forse a infinito con x in prossimità di zero?
Tu mi dirai, in x=0 la f non è definita e quindi è discontinua ... ok! ... e allora infatti il teorema di Weierstrass non garantisce il max e il minimo e quindi la limitatezza!!

Il Teorema di Weierstrass afferma che se una funzione è CONTINUA su un intervallo CHIUSO e LIMITATO allora essa ammette MAX e MIN e quindi è LIMITATA!! ... ma devi appunto prima dimostrare che la funzione è limitata, non puoi usare la limitatezza della funzione per poter dimostrare il teorema!!

Saluti.

[Rokito]

Ok, capito. Pensavo che in R^n, data la definizione di insieme limitato come contenuto in una sfera tridimensionale di raggio "grande", la f non potesse esplodere a più infinito ma ho fatto confusione

p.s. ancora una volta come vedi dalle notazioni non ho potuto usare equation editor perchè mi crasha, forse è un problema che ha solo con Safari? Per fortuna stamattina andava e ho potuto pubblicare questa discussione e quella sulla serie parametrica:)

[maurizio.schirinzi]

Riguardo al crash del Forum con Safari non riesco a riscontrare il problema! ...
E' possibile che sia un problema localizzato sul tuo PC a causa di qualche plug-in installato e non aggiornato che va in conflitto?

Potresti provare, oltre a svuotare la cache, disabilitare tutti i plug-in oppure disinstallare completamente Safari e i plug-in, e reinstallarlo poi da zero e senza plug-in inizialmente!

In alternativa prova ad utilizzare Chrome!

Fammi sapere se hai risolto ed eventualmente come.

Grazie.

[Rokito]

Purtroppo è installato di default sul mac, ma in questi casi potrei usare Chrome. La cosa strana è che stamattina non mi ha dato nessun problema quando ho scritto questa discussione e quella sulla serie!

[maurizio.schirinzi]

Allora il fatto che te lo fa "a volte" conferma il mio sospetto di qualche plug-in che entra in funzione dopo e fa crashare tutto.

Scommetto che se riavvii o spegni il sistema per un pò non te lo fa e poi ricomincia!

Fammi sapere.