Sistema di equazioni differenziali

[gloria]

salve,
ho questo sistema \[\begin{cases} & \text{ } x'= xy-4y-x+4\\ & \text{ } y'= x^2-3x+xy-3y \end{cases}\] ,è autonomo ma non lineare quindi devo linearizzarlo per poterlo studiare,per questo andrò poi a calcolare lo Jacopiano.
Mi blocca sempre la ricerca degli zeri ,per il mio professore i punti sono:
P_0=(4,-4)
P_1=(3,1)
P_2=(-1,1)
lui li trova procedendo a caso ,senza un metodo preciso o almeno io non sono riuscita a capirlo.
Lei mi aveva aiutato tempo fa e mi aveva fornito un metodo più preciso,ma forse non l'ho capito perchè i valori non coincidono.Io avevo fatto così:
\[\begin{cases} & \text{ } 0=(x-4)(y-1)\\ & \text{ } 0= (x-3)(x+y) )\end{cases}\]
\[\begin{cases} & \text{ } 0=x\\ & \text{ } 0= y \end{cases}\]
\[\begin{cases} & \text{ } 0=x\\ & \text{ } 0= -4(y-1) \end{cases}\]
\[\begin{cases} & \text{ } 0=y\\ & \text{ } 0=x(x-3) \end{cases}\] e ottenevo tali valori
\[P_0=(0,0) P_1=(0,\frac{1}{4})P_2=(3,\frac{1}{4})\].
Non so dove sbaglio.grazie x l'aiuto saluti

[maurizio.schirinzi]

Ciao, il tuo prof procede per tentativi?? ... voglio sperare che non sia cosi!! ... la matematica non è un tentativo!! ...

dunque abbiamo il sistema
\[\left\{ \begin{array}{l}
(x - 4)(y - 1) = 0\\
(x - 3)(x + y) = 0
\end{array} \right.\]
per la legge di annullamento del prodotto abbiamo 2 possibilità di annullare ciascuno dei 2 fattori a primo membro delle 2 equazioni
\[\left\{ \begin{array}{l}
(x - 4)(y - 1) = 0 \to \left\{ \begin{array}{l}
x - 4 = 0\;\;\; \to \;\;\;x = 4\\
y - 1 = 0\;\;\; \to \;\;\;y = 1
\end{array} \right.\\
(x - 3)(x + y) = 0 \to \left\{ \begin{array}{l}
x - 3 = 0\;\;\; \to \;\;\;x = 3\\
x + y = 0\;\;\; \to \;\;\;y = - x
\end{array} \right.
\end{array} \right.\]
questo significa che dobbiamo combinare tutti i possibili casi che annullano contemporaneamente i membri delle 2 equazioni e cioè le due equazioni devono essere verificate contemporaneamente per una coppia di valori (x,y); dunque dobbiamo combinare i possibili casi:

- scegliendo dalla prima equazione x=4 andiamo vedere nella seconda equazione (sostituendo x=4) come possiamo fare per annullarla per un certo valore della y;
- scegliendo poi un altro possibile valore di verifica della prima equazione (y=1) si va a vedere nella seconda equazione cosa succede (sostituendo y=1) e come fare per annullarla per un valore dell'altra incognita x;
- poi si passa alla seconda equazione scegliendo un valore di verifica (x=3) si va a vedere nella prima equazione cosa succede e cosi via finchè non esaurisco tutti i casi (combinazioni) possibili che portano a delle soluzioni accettabili.

ecco tutti i casi possibili di verifica
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = 4\\
y = - 4
\end{array} \right.\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
y = 1\\
x = - 1
\end{array} \right.\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
y = 1\\
x = 3
\end{array} \right.\;\;\;\]
Spero che ora è tutto più chiaro!

Saluti.