Dubbi teorici: spazio duale, f. di classe C1, aperti, estremi liberi e vincolati

[nuccio88]

Buonasera, ho alcuni dubbi teorici di Analisi II e, non sapendo dove postarli, li scrivo qui. In alcuni teoremi mi è capitato di trovare funzioni definite nel duale di R^n ... Che insieme è?

Cosa sono le funzioni di classe C^1, C^infinito?

Cos'è un insieme aperto e perché in alcuni teoremi trovo nelle ipotesi che la funzione è definita in un aperto? Gode di proprietá particolari forse un insieme aperto?

Qual'è la differenza tra estremi liberi e vincolati per funzioni di più variabili?

Inoltre, non mi è chiara la definizione di funzione di più variabili differenziabile in un punto x0 del dominio della funzione.

[maurizio.schirinzi]

Ciao, riguardo alla prima domanda ti rimando ad una spiegazione dettagliatissima su Wikipedia, dove ti consiglio di guardare anche cosa sono i funzionali (NON le funzioni!) lineari: Spazio duale

Riguardo alle altre domande si ha:

1) Funzioni di Classe ${C^1}$ e ${C^\infty }$:
Come in Analisi 1 le funzioni di classe ${C^1}$ sono funzioni derivabili con derivata prima continua! ... e le funzioni di classe ${C^\infty }$
sono le funzioni derivabili infinite volte con derivata di ordine infinito (cioè di ordine qualsiasi) continua!

2) Insiemi Aperti:
Gli insiemi aperti in ${R^n}$ sono gli analoghi degli intervalli aperti in R di Analisi 1
A volte bisognava escludere gli estremi degli intervalli in alcuni teoremi perchè negli estremi di un intervallo la funzione potrebbe non essere derivabile (pensa a funzioni definite solo in un intervallo!) ... In ${R^n}$ valgono le stesse considerazioni nei bordi di un qualsiasi sottoinsieme di dominio.

3) Estremi Liberi e Vincolati
E' l'analogo di quello che si fa in Analisi 1 quando si cercano gli estremi (max e min) in tutto il dominio naturale della funzione (ad esempio su tutto R), oppure quando si cercano gli estremi (max e min) solo in un certo intervallo assegnato interno al dominio naturale della funzione che potrebbe essere anche più grande. Per funzioni di più variabili cercare i max e min vincolati vuol dire cercarli in relazione ad un vincolo di dominio specificato in genere con una curva (di cui viene data l'equazione, detta equazione del vincolo) o con un sottoinsieme del dominio naturale della funzione definito in qualche modo tramite equazioni e disequazioni di vincolo!

4) Funzione di più variabili differenziabile in un punto
Ti rimando anche in questo caso ad una spiegazione più dettagliata su Wikipedia: Funzione differenziabile

Saluti.

[nuccio88]

Cosa si intende per derivata continua in un certo punto x0?

Inoltre le chiedo un consiglio. Non riesco a memorizzare le ipotesi dei vari teoremi. In modo particolare, ho difficoltà nel ricordare in uno specifico teorema come devo prendere il dominio e l'immagine di una data funzione f coinvolta nel teorema stesso. Ad esempio, a volte il dominio è un aperto di R^n, a volte è un aperto connesso di R^n, a volte è un semplice intervallo (a,b). Che consigli potrebbe darmi in merito?

[maurizio.schirinzi]

La derivata continua in un punto vuol dire che la funzione derivata prima è una funzione continua in quel punto!! ... come per le normali funzioni!!

Consigli su come studiare la matematica o come ricordare le varie cose?? ...

C'è un solo ed unico consiglio!! ... Chiedersi sempre il perchè delle varie cose, da dove hanno origine e perchè si sono inventate cosi!! ... la matematica non va studiata come le altre materie ... mandando giù a memoria formule e teoremi al solo fine di superare l'esame o affrontare il compito in classe "in qualche modo"!! ... questo è il metodo di studio più sbagliato che porta sempre alle difficoltà da te descritte!!

Saluti.