Ciao,
\[{\log _{\frac{1}{2}}}(\frac{x}{{e - {e^{\frac{1}{x}}}}} + 1) > 0\]
prima di tutto occorre porre le solite condizioni di esistenza e risolvere le relative disequazioni
\[C.E.\;\left\{ \begin{array}{l}
e - {e^{\frac{1}{x}}} \ne 0\\
\frac{x}{{e - {e^{\frac{1}{x}}}}} + 1 \ge 0
\end{array} \right.\]
Si noti la difficoltà di risolvere, con le normali tecniche algebriche, la seconda disequazione, a causa della x presente al di fuori dell'esponenziale; in tali casi si rende necessario ricorrere ad uno studio grafico oppure a tecniche algoritmiche-numeriche, se si vuole determinare approssimativamente il c.e. della disequazione data !!
Ritornando alla disequazione iniziale e manipolandola si ha
\[{\log _{\frac{1}{2}}}(\frac{x}{{e - {e^{\frac{1}{x}}}}} + 1) > 0\;\;\; \to \;\;\;{\log _{\frac{1}{2}}}(\frac{x}{{e - {e^{\frac{1}{x}}}}} + 1) > {\log _{\frac{1}{2}}}(1)\;\;\; \to \;\;\;\frac{x}{{e - {e^{\frac{1}{x}}}}} + 1 < 1\;\;\; \to \]
\[ \to \;\;\;\frac{x}{{e - {e^{\frac{1}{x}}}}} < 0\]
da cui studiando il segno del numeratore e del denominatore si traccerà lo schema del segno finale per rispondere alla domanda della disequazione
\[N:\;x \ge 0\]
\[D:\;e - {e^{\frac{1}{x}}} > 0\;\;\;\; \to \;\;\;e > {e^{\frac{1}{x}}}\;\;\; \to \;\;\;1 > \frac{1}{x}\;\;\; \to \;\;\;1 - \frac{1}{x} > 0\;\;\; \to \;\;\;\frac{{x - 1}}{x} > 0\]
E' inutile sottolineare la necessità di conoscere perfettamente tutte le relative tecniche risolutive delle suddette disequazioni!
Saluti.
