Dominio e studio del segno di funzione con arco-coseno ed esponenziale

[asiatruma]

salve avrei bisogno di un aiuto con questo esercizio:
Si studino l'insieme di definizione ed il segno della funzione definita da:

$f(x)=arccos\left ( \left | \frac{x+2}{x+1} \right |-2 \right )\cdot \left ( e^{\sqrt{x^{2}-x}-x}-1 \right )$

grazie..

[maurizio.schirinzi]

Ciao,
\[f(x) = \arccos (\left| {\frac{{x + 2}}{{x + 1}}} \right| - 2)\,({e^{\sqrt {{x^2} - x} - x}} - 1)\]
per lo studio del dominio si impongono le seguenti condizioni di esistenza e si risolvono le relative disequazioni
\[C.E.\;\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - x \ge 0\\
- 1 \le \left| {\frac{{x + 2}}{{x + 1}}} \right| - 2 \le 1\\
x + 1 \ne 0
\end{array} \right.\]
per lo studio del segno della funzione occorre studiare separatamente il segno dei 2 fattori di cui è composta la funzione e poi fare lo schema del segno finale.

Per il fattore arco-coseno, essendo esso sempre positivo-nullo nel suo dominio si ha
\[\arccos (\left| {\frac{{x + 2}}{{x + 1}}} \right| - 2) \ge 0\;\;\;\;{\rm{(sempre}}\;{\rm{positivo/nullo!)}}\;\;\; \to \;\;\;\forall x:\; - 1 \le \;\left| {\frac{{x + 2}}{{x + 1}}} \right| - 2 \le 1\]
si ricordi che la funzione arco-coseno per definizione (nel suo dominio di invertibilità rispetto alla funzione coseno) "mangia" numeri tra -1 e 1 compresi e restituisce angoli nell'intervallo $[0,\pi ]$

Per l'altro fattore basta studiare il segno dell'espressione esponenziale risolvendo una disequazione esponenziale con le solite tecniche
\[{e^{\sqrt {{x^2} - x} - x}} - 1 \ge 0\;\;\; \to \;\;\;{e^{\sqrt {{x^2} - x} - x}} \ge 1\;\;\; \to \;\;\;{e^{\sqrt {{x^2} - x} - x}} \ge {e^0}\;\;\; \to \]
\[ \to \;\;\;\sqrt {{x^2} - x} - x \ge 0\;\;\; \to \;\;\;\sqrt {{x^2} - x} \ge x\]
quest'ultima disequazione irrazionale va risolta con le solite procedure delle disequazioni irrazionali.

E' inutile sottolineare la necessità di conoscere in modo perfetto tutte le relative tecniche risolutive delle suddette disequazioni!

Saluti.

[asiatruma]

Allora abbiamo che:
$\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - x \ge 0\\ - 1 \le \left| {\frac{{x + 2}}{{x + 1}}} \right| - 2 \le 1\\ x + 1 \ne 0 \end{array} \right.$
$\rightarrow -\frac{1}{2}\leq x\leq 0\, \vee x\geq \frac{5}{2}$

quindi l'insieme di definizione è:
$E=\left \{ x\in \mathbb{R}\mid \rightarrow -\frac{1}{2}\leq x\leq 0\, \vee x\geq \frac{5}{2} \right \}$

per lo studio del segno della funzione invece abbiamo che:

$\sqrt {{x^2} - x} \ge x$ $\rightarrow x<=0$


pertanto la funzione , nel suo dominio,risulterà:

negativa per i valori $-\frac{1}{2}\leq x\leq 0$,
mentre sarà positiva per $x\geq \frac{5}{2}$


è giusto??
fammi sapere se c'è qualcosa di sbagliato..
grazie..

[maurizio.schirinzi]

Mi sembra che sia qualche errore nei tuoi calcoli; come hai trovato quel 5/2 ??

A me dai calcoli risulta così:
\[{D_f} = \left\{ {x \in R\;\;|\; - \frac{1}{2} \le x \le 0\;\; \vee \;\;x \ge 1} \right\}\]
\[\begin{array}{l}
Positivita':\;\; - \frac{1}{2} < x < 0\\
Negativita':\;\;x \ge 1\\
Nullita':\;\;x = 0\;\; \vee \;\;x = - \frac{1}{2}
\end{array}\]

Saluti.