Disequazione logaritmica-esponenziale mista con valore assoluto

[asiatruma]

salve avrei bisogno del suo aiuto con questo esercizio:

Si risolva le seguente disequazione:

$\left | log\left ( e^{2x} -5e^{x}+6+e\right ) \right |\leq 1$

grazie...

[maurizio.schirinzi]

Ciao, ecco i primi passaggi fondamentali da eseguire:
\[\left| {\ln ({e^{2x}} - 5{e^x} + 6 + e)} \right| \le 1\]
per le proprietà disequative del valore assoluto si ha
\[ - 1 \le \ln ({e^{2x}} - 5{e^x} + 6 + e) \le 1\]
facendo apparire i logaritmi agli estremi si ha
\[ - \ln (e) \le \ln ({e^{2x}} - 5{e^x} + 6 + e) \le \ln (e)\]
\[\ln ({e^{ - 1}}) \le \ln ({e^{2x}} - 5{e^x} + 6 + e) \le \ln (e)\]
\[{e^{ - 1}} \le {e^{2x}} - 5{e^x} + 6 + e \le e\]
risolviamo la disequazione a catena con l'intersezione di 2 disequazioni a sistema
\[\left\{ \begin{array}{l}
{e^{2x}} - 5{e^x} + 6 + e \le e\\
{e^{2x}} - 5{e^x} + 6 + e \ge {e^{ - 1}}
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
{e^{2x}} - 5{e^x} + 6 \le 0\\
{e^{2x}} - 5{e^x} + 6 + e - \frac{1}{e} \ge 0
\end{array} \right.\]
da cui risolvendo le due disequazioni esponenziali con la tecnica del cambio di variabile, ponendo ${e^x} = t$, si trovano le soluzioni in t e poi si riconducono in x mediante la sostituzione inversa.

Saluti.

[asiatruma]

scusa come le risolvo..
mi potresti mostrare i passaggi...
grazie..

[maurizio.schirinzi]

\[\left\{ \begin{array}{l}
{e^{2x}} - 5{e^x} + 6 \le 0\\
{e^{2x}} - 5{e^x} + 6 + e - \frac{1}{e} \ge 0
\end{array} \right.\]
Risolviamo la prima disequazione ponendo ${e^x} = t$
\[{e^{2x}} - 5{e^x} + 6 \le 0\]
\[{t^2} - 5t + 6 \le 0\]
\[2 \le t \le 3\]
ritornando in x con la sostituzione inversa si ha
\[2 \le {e^x} \le 3\;\;\; \to \;\;\;\ln (2) \le x \le \ln (3)\]
Per la seconda disequazione
\[{e^{2x}} - 5{e^x} + 6 + e - \frac{1}{e} \ge 0\]
moltiplicando tutto per e
\[e\,{e^{2x}} - 5e\,{e^x} + 6e + {e^2} - 1 \ge 0\]
e ponendo sempre ${e^x} = t$, si ha
\[e\,{t^2} - 5e\,t + 6e + {e^2} - 1 \ge 0\]
da cui trovando le radici del polinomio in t si ha
\[{t_{1/2}} = \frac{{5e \pm \sqrt {25{e^2} - 4e(6e + {e^2} - 1)} }}{{2e}} = \frac{{5e \pm \sqrt { - 4{e^3} + {e^2} + 4e} }}{{2e}} = \not \exists \;\;\;(\Delta < 0)\]
infatti è facile verificare che essendo e=2,71... si ha
\[\Delta = - 4{e^3} + {e^2} + 4e < 0\]
dunque per le regole dei segni dei polinomi di 2° grado si ha
\[e\,{t^2} - 5e\,t + 6e + {e^2} - 1 \ge 0\;\;\; \to \;\;\;\forall t \in R\;\;\; \to \;\;\;\forall {e^x} \in R\;\;\; \to \;\;\;\forall x \in R\]
pertanto le 2 disequazioni del sistema avranno le seguenti soluzioni
\[\left\{ \begin{array}{l}
\ln (2) \le x \le \ln (3)\\
\forall x \in R
\end{array} \right.\]
la cui intersezione del sistema fornisce la soluzione finale
\[\ln (2) \le x \le \ln (3)\]
E' inutile dire che per questo tipo di esercizi è necessaria una conoscenza perfetta e molto approfondita sulla risoluzione di tutti i i tipi di equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche che spesso nelle scuole superiori vengono trattate in modo superficiale o saltate del tutto!!

A tale proposito, per fortuna, sono già disponibili moltissimi video-tutorials sia di Teoria che di Esercizi relativi al capitolo "Esponenziali e Logaritmi" che ti consiglio di guardare integralmente al fine di non avere mai più problemi con questo tipo di esercizi!

Saluti.