Ciao, ti riporto i passi fondamentali dello studio del dominio e del segno lasciando a te i dettagli degli ovvi calcoli relativi alle solite disequazioni razionali, irrazionali e logaritmiche:
\[f(x) = arcsen(\sqrt {{{\ln }^2}(x) - \ln (x)} - \ln (x) + 1)\]
Per il dominio occorre impostare il C.E.
\[C.E.\left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
{\ln ^2}(x) - \ln (x) \ge 0\\
- 1 \le \sqrt {{{\ln }^2}(x) - \ln (x)} - \ln (x) + 1 \le 1
\end{array} \right.\]
dove la seconda disequazione logaritmica si risolve per sostituzione
\[\begin{array}{l}
{\ln ^2}(x) - \ln (x) \ge 0\\
\ln (x) = t\\
{t^2} - t \ge 0\;\;\; \to \;\;\;t \le 0\; \vee \;t \ge 1\;\;\; \to \;\;\;\ln (x) \le 0\; \vee \;\ln (x) \ge 1\\
x \le 1\; \vee \;x \ge e
\end{array}\]
la terza disequazione diventa
\[\begin{array}{l}
- 1 \le \sqrt {{{\ln }^2}(x) - \ln (x)} - \ln (x) + 1 \le 1\\
- 2 \le \sqrt {{{\ln }^2}(x) - \ln (x)} - \ln (x) \le 0
\end{array}\]
che equivale al sistema
\[\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {{{\ln }^2}(x) - \ln (x)} - \ln (x) \le 0\\
\sqrt {{{\ln }^2}(x) - \ln (x)} \ge - 2
\end{array} \right.\]
da risolvere sempre per sostituzione
\[\begin{array}{l}
\ln (x) = t\\
\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {{t^2} - t} - t \le 0\;\;\; \to \;\;...\\
\sqrt {{t^2} - t} \ge - 2\;\;\; \to \;\;\;\forall t \in R\;\;con\;\;{t^2} - t \ge 0
\end{array} \right.
\end{array}\]
da cui ricavando t=... e poi x=... si otterrà il sistema finale da intersecare che ci darà il dominio della funzione
\[C.E.\left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
x \le 1\; \vee \;x \ge e\\
x = \;...
\end{array} \right.\]
Per lo studio del segno occorre porre la seguente domanda di segno
\[arcsen(\sqrt {{{\ln }^2}(x) - \ln (x)} - \ln (x) + 1) \ge 0\]
che equivale a
\[\begin{array}{l}
0 \le \sqrt {{{\ln }^2}(x) - \ln (x)} - \ln (x) + 1 \le 1\\
- 1 \le \sqrt {{{\ln }^2}(x) - \ln (x)} - \ln (x) \le 0
\end{array}\]
e quindi al sistema
\[\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {{{\ln }^2}(x) - \ln (x)} - \ln (x) \le 0\\
\sqrt {{{\ln }^2}(x) - \ln (x)} - \ln (x) \ge - 1
\end{array} \right.\]
che andrà risolto con la solita sostituzione
\[\ln (x) = t\;...\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {{t^2} - t} - t \le 0\\
\sqrt {{t^2} - t} - t \ge - 1
\end{array} \right.\]
su cui si dovranno applicare le solite procedure delle disequazioni irrazionali per ottenere le soluzioni prima in t e poi in x. Da questo studio di segno di dedurrà quindi il segno della funzione e le intersezioni con l'asse x (i punti di verifica della parte equativa della disequazione di segno).
E' inutile dire che tutto quanto sopra richiede una perfettissima conoscenza delle tecniche risolutive di tutti i tipi di equazioni (razionali, irrazionali, logaritmiche) che di solito si studiano alle scuole superiori!
Saluti.
da asiatruma » 19/07/2014, 18:32 
