Ciao,
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{tg(sen(x) - {x^2})}}{{\ln (1 + \sqrt x ) - {e^x} + 1}} = [\frac{0}{0}]\]
prima di tutto occorre precisare che per questo tipo di limiti conviene meglio usare gli sviluppi di Taylor, se non altro perchè è più veloce ma soprattutto perchè in alcuni casi più complessi non si riesce a svolgere con le tecniche dei limiti notevoli, per i motivi visti nella teoria e nei nostri video-tutorials.
Per fortuna per questo limite si riesce ad applicare la tecnica dei limiti notevoli con i seguenti passaggi rigorosi:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{tg(sen(x) - {x^2})}}{{\ln (1 + \sqrt x ) - {e^x} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\frac{{tg(sen(x) - {x^2})}}{{sen(x) - {x^2}}}(sen(x) - {x^2})}}{{\frac{{\ln (1 + \sqrt x )}}{{\sqrt x }}\sqrt x - \frac{{{e^x} - 1}}{x}x}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{tg(sen(x) - {x^2})}}{{sen(x) - {x^2}}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{sen(x) - {x^2}}}{{\frac{{\ln (1 + \sqrt x )}}{{\sqrt x }}\sqrt x - \frac{{{e^x} - 1}}{x}x}} = \]
\[ = 1 \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\frac{{sen(x)}}{x}x - {x^2}}}{{\frac{{\ln (1 + \sqrt x )}}{{\sqrt x }}\sqrt x - \frac{{{e^x} - 1}}{x}x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x(\frac{{sen(x)}}{x} - x)}}{{x(\frac{{\ln (1 + \sqrt x )}}{{\sqrt x }}\frac{{\sqrt x }}{x} - \frac{{{e^x} - 1}}{x})}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x(\frac{{sen(x)}}{x} - x)}}{{x(\frac{{\ln (1 + \sqrt x )}}{{\sqrt x }}\sqrt {\frac{x}{{{x^2}}}} - \frac{{{e^x} - 1}}{x})}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\frac{{sen(x)}}{x} - x}}{{\frac{{\ln (1 + \sqrt x )}}{{\sqrt x }}\sqrt {\frac{1}{x}} - \frac{{{e^x} - 1}}{x}}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\frac{{sen(x)}}{x} - x}}{{\frac{{\ln (1 + \sqrt x )}}{{\sqrt x }}\sqrt {\frac{1}{x}} - \frac{{{e^x} - 1}}{x}}} = \frac{{1 - 0}}{{1 \cdot \sqrt {\frac{1}{{{0^ + }}}} - 1}} = \frac{1}{{ + \infty - 1}} = \frac{1}{{ + \infty }} = 0\]
Saluti.
