Ciao,
\[{z^4} + {(1 + i)^7} = 0\]
estraendo subito z come radice quarta complessa si ha
\[{z^4} = - {(1 + i)^7}\;\;\; \to \;\;\;z = {\sqrt[4]{{ - {{(1 + i)}^7}}}^|}\]
a questo punto conviene lavorare dapprima con la forma esponenziale ponendo
\[w = 1 + i\]
e calcolando modulo e argomento
\[\begin{array}{l}
\rho = \left| w \right| = \sqrt 2 \\
tg(\vartheta ) = \frac{1}{1} = 1\;\;\; \to \;\;\;\vartheta = Arg(w) = \frac{\pi }{4}
\end{array}\]
dunque
\[w = 1 + i = \sqrt 2 \,{e^{\frac{\pi }{4}i}}\]
da cui
\[{w^7} = {(1 + i)^7} = {(\sqrt 2 \,{e^{\frac{\pi }{4}i}})^7} = 8\sqrt 2 \,{e^{\frac{7}{4}\pi i}}\]
pertanto
\[z = {\sqrt[4]{{ - {{(1 + i)}^7}}}^|} = {\sqrt[4]{{ - 8\sqrt 2 \,{e^{\frac{7}{4}\pi i}}}}^|}\]
ora ponendo
\[s = - 8\sqrt 2 \,{e^{\frac{7}{4}\pi i}}\]
calcoliamo ancora modulo e argomento
\[\begin{array}{l}
\rho = \left| s \right| = 8\sqrt 2 \\
\vartheta = Arg(s) = \frac{7}{4}\pi
\end{array}\]
e dalla solita formula per il calcolo delle radici complesse si ha
\[{z_k} = {\sqrt[4]{{ - 8\sqrt 2 \,{e^{\frac{7}{4}\pi i}}}}^|} = \sqrt[4]{\rho }\;[\cos (\frac{{\vartheta + k2\pi }}{4}) + i\,sen(\frac{{\vartheta + k2\pi }}{4})] = \]
\[ = \sqrt[4]{{8\sqrt 2 }}\;[\cos (\frac{{\frac{7}{4}\pi + k2\pi }}{4}) + i\,sen(\frac{{\frac{7}{4}\pi + k2\pi }}{4})] = \]
\[ = 2\sqrt[4]{8}\;[\cos (\frac{7}{{16}}\pi + k\frac{\pi }{2}) + i\,sen(\frac{7}{{16}}\pi + k\frac{\pi }{2})]\]
dove facendo scorrere $k = 0,1,2,3$ e facendo i conti otterrai esplicitamente tutte le singole radici dell'equazione.
Saluti.
