Dimostrazione di una proprietà sommatoria per induzione

[asiatruma]

salve avrei bisogno del suoi aiuto con questo esercizio

Si dimostri che per ogni n∈N

$4\, \, \sum_{k=1}^{n}\, k(k+1)(k+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)$

mostrando tutti i passaggi della dimostrazione.
grazie..

[maurizio.schirinzi]

Ciao, sei sicuro che il testo è corretto??
\[4\sum\limits_{k = 1}^n {k(k + 1)(k + 2) = n(n + 1)(n + 3)} \]
a me non sembra che la formula funzioni per ogni n, basta fare le prove per n=1, n=2 e n=3 per rendersene conto:
\[n = 1\;\;\; \to \;\;\;4 \cdot [1 \cdot 2 \cdot 3] = 1 \cdot 2 \cdot 4\;\;\; \to \;\;\;24 = 8\;\;??\]
\[n = 2\;\;\; \to \;\;\;4 \cdot [(1 \cdot 2 \cdot 3) + (2 \cdot 3 \cdot 4)] = 2 \cdot 3 \cdot 5\;\;\; \to \;\;\;80 = 30\;\;??\]
\[n = 3\;\;\; \to \;\;\;4 \cdot [(1 \cdot 2 \cdot 3) + (2 \cdot 3 \cdot 4) + (3 \cdot 4 \cdot 5)] = 3 \cdot 4 \cdot 6\;\;\; \to \;\;\;360 = 72\;\;??\]

??

Saluti.

[asiatruma]

Allora il testo che ho scritto è questo:

$4\, \, \sum_{k=1}^{n}\, k(k+1)(k+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)$

ti sarai distratto del $(n+2)$ al secondo membro..

se mi può aiutare..
grazie..

[maurizio.schirinzi]

SI!! ... hai ragione!! ...
scusami ma mi sono perso un pezzo nel copiare il tuo esercizio nei miei appunti! ... evidentemente ho proprio bisogno di un pò di ferie! ...

Dunque abbiamo
\[4\sum\limits_{k = 1}^n {k(k + 1)(k + 2) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)} \]
e facendo qualche prova si vede che è verificata per i primi valori di n (ovviamente per il principio di induzione è sufficiente che sia vera almeno per il primo valore!)
\[\begin{array}{l}
n = 1\;\;\; \to \;\;\;4 \cdot [1 \cdot 2 \cdot 3] = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4\;\;\; \to \;\;\;24 = 24\\
n = 2\;\;\; \to \;\;\;4 \cdot [(1 \cdot 2 \cdot 3) + (2 \cdot 3 \cdot 4)] = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5\;\;\; \to \;\;\;120 = 120\\
n = 3\;\;\; \to \;\;\;4 \cdot [(1 \cdot 2 \cdot 3) + (2 \cdot 3 \cdot 4) + (3 \cdot 4 \cdot 5)] = 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6\;\;\; \to \;\;\;360 = 360\\
...
\end{array}\]
ora indicando con P(n) la proprietà n-esima da dimostrare e supponendola vera
\[P(n):\;\;4\sum\limits_{k = 1}^n {k(k + 1)(k + 2) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)} \]
scriviamo la proprietà P(n+1) e cerchiamo di dimostrare la sua verità sfruttando la verità della P(n) supposta vera; dunque si ha
\[P(n + 1):\;\;4\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} {k(k + 1)(k + 2)} = (n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)\]
\[4\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} {k(k + 1)(k + 2)} = (n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)\]
spezzando la sommatoria sul suo ultimo termine abbiamo
\[4\;\{ \sum\limits_{k = 1}^n {[k(k + 1)(k + 2)]} + (n + 1)(n + 2)(n + 3)\} = (n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)\]
\[4\sum\limits_{k = 1}^n {[k(k + 1)(k + 2)]} + 4(n + 1)(n + 2)(n + 3) = (n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)\]
ora sfruttiamo la verità della P(n) sostituendone il suo risultato
\[n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 4(n + 1)(n + 2)(n + 3) = (n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)\]
da cui raccogliendo (n+1)(n+2)(n+3) a primo membro si ha
\[(n + 1)(n + 2)(n + 3)[n + 4] = (n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)\]
dunque la P(n+1) è dimostrata a partire dalla verità della P(n) e pertanto la P(n) è vera per ogni n!


Saluti.