Sviluppo di Taylor

[Iris]

Ciao a tutti, innanzi tutto vi ringrazio per tutto ciò che fate, il vostro è un servizio formidabile.
Vi scrivo perché non riesco a risolvere questo esercizio che ho trovato in un compito d'esame di Analisi1.

Scrivere lo sviluppo di Taylor di f(x) : (sin(x^3))^2 ci centro Xo=0 e di ordine n=9

Per favore, potreste aiutarmi? Vi ringrazio anticipatamente
P.S. Scusate se la mia domanda può risultare fuori argomento, ma non sapevo dove collocarla.

[maurizio.schirinzi]

Ciao Iris e benvenuto nel Forum di EasyMath ITALIA!

Prima di tutto ti invito ad imparare l'uso di Equation Editor, strumento obbligatorio in questo Forum per la scrittura di tutte le formule matematiche!
Ai seguenti indirizzi troverai tutte le istruzioni per imparare ad usare tale strumento ed una pagina demo dove potrai esercitarti prima di postare nel Forum:

Come si scrivono le formule con Equation Editor (LaTeX e ASCII-MathML)
Demo Equation Editor

Veniamo ora al tuo esercizio:
\[f(x) = {(sen({x^3}))^2}\;\;\;x \to 0\;\;\;\;n = 9\]
Scriviamo lo sviluppo di Taylor del seno nell'intorno di zero
\[sen(t)\mathop \simeq \limits_{t \to 0} t - \frac{1}{6}{t^3} + \;o({t^3})\]
sostituendo ${x^3} \to t$ abbiamo
\[{[sen({x^3})]^2}\mathop \simeq \limits_{x \to 0} {[{x^3} - \frac{1}{6}{({x^3})^3} + \;o({({x^3})^3})]^2} = \]
\[ = {[{x^3} - \frac{1}{6}{x^9} + \;o({x^9})]^2} = \]
sviluppando il quadrato del trinomio è trascurando poi i termini di grado >9 si ha
\[ = {x^6} + \frac{1}{{36}}{x^{18}} + o({x^{18}}) + 2({x^3})( - \frac{1}{6}{x^9}) + 2({x^3})o({x^9}) + 2( - \frac{1}{6}{x^9})o({x^9}) = \]
\[ = {x^6} + \frac{1}{{36}}{x^{18}} + o({x^{18}}) - \frac{1}{3}{x^{12}} + o({x^{12}}) + o({x^{18}})\]
appare dunque evidente che lo sviluppo più significativo disponibile (di grado <=9) per la funzione sarà in realtà di grado 6!

Si noti la scelta iniziale sufficiente dei primi 2 termini dello sviluppo di Taylor, dato che con una scelta di più termini avremmo avuto ancora altri termini di grado superiore a 9!!

Saluti.