Ciao, se ho capito bene, dalla formula scritta male, il limite dovrebbe essere questo:
[EDIT] Correzione errore di trascrizione\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 1} - \sqrt 2 }}{{\sqrt {x - 1} }}\]
Si noti subito che il limite sinistro non può esistere, per le ovvie condizioni di esistenza della radice a denominatore; quindi abbiamo:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 1} - \sqrt 2 }}{{\sqrt {x - 1} }} = \left\{ \begin{array}{l}
\not \exists \;\;\;\;\;\;(x \to {1^ - })\\
[\frac{0}{0}]\;\;\;(x \to {1^ + })
\end{array} \right.\]
ci limiteremo dunque a calcolare il solo limite destro che soddisfa pienamente tutte le ipotesi di De L'Hopital, compresa quella di
\[g'(x) \ne 0\;\;\;\forall x \in {I^ + }({x_0}) - \{ {x_0}\} \]
infatti il teorema nelle sue ipotesi richiede che la funzione a denominatore sia derivabile e con derivata prima diversa da zero per tutte le x dell'intorno (nel nostro caso solo intorno destro)
tranne nel punto stesso (x=1), dove ovviamente nel nostro caso la funzione non è derivabile. Pertanto non ci sono problemi ad applicare la regola e si avrà:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt {x + 1} - \sqrt 2 }}{{\sqrt {x - 1} }}\mathop = \limits_H \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\frac{1}{{2\sqrt {x + 1} }}}}{{\frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt {x - 1} }}{{\sqrt {x + 1} }} = \frac{0}{{\sqrt 2 }} = 0\]
Saluti.
PS: Lo User Admin provvederà a correggere la formula. Ai seguenti indirizzi troverai tutte le istruzioni per imparare ad usare tale strumento ed una pagina demo dove potrai esercitarti prima di postare nel Forum:
Come si scrivono le formule con Equation Editor (LaTeX e ASCII-MathML)Demo Equation Editor
