Alcuni integrali immediati (o per sostituzione)

[giuliol]

Buongiorno,
Sono alle prese con un ripasso relativo agli integrali.
Riesco a risolverli mediante aggiustamenti vari ma mi trovo in difficoltà con i seguenti due:

\[\int \frac{xdx}{\sqrt{4-x^2}}\]

la cui soluzione mi viene \[\frac{x^2}{4} - x + c\]

\[\int x\sqrt{x^2+2} dx\]
che non capisco come sistemare per renderlo immediato!

Grazie dell'attenzione!

Giulio

[maurizio.schirinzi]

Ciao,
\[\int {\frac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}dx} \]
premesso che io considero questo tipo di integrali NON immediati e quindi da gestire con le altre tecniche più potenti e più comode, come ad esempio la sostituzione; ti riporto comunque prima la tecnica degli "aggiustamenti" che molti insegnanti a scuola si ostinano a voler utilizzare, senza considerare che gli studenti alle prime armi non sono in grado di gestire agevolmente questi passaggi:
\[\int {\frac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}dx} = \int {\frac{x}{{{{(4 - {x^2})}^{\frac{1}{2}}}}}dx} = \int {x\,{{(4 - {x^2})}^{ - \frac{1}{2}}}dx} = \]
\[ = - \frac{1}{2}\int { - 2x\,{{(4 - {x^2})}^{ - \frac{1}{2}}}dx} = - \frac{1}{2}\frac{{{{(4 - {x^2})}^{ - \frac{1}{2} + 1}}}}{{ - \frac{1}{2} + 1}} = \]
\[ = - \frac{1}{2}\frac{{{{(4 - {x^2})}^{\frac{1}{2}}}}}{{\frac{1}{2}}} = - {(4 - {x^2})^{\frac{1}{2}}} = - \sqrt {4 - {x^2}} + c\]
Ti riporto ora la più comoda tecnica di sostituzione che fornisce agli studenti un metodo pulito, potente e "meccanico" di procedere in tutta sicurezza:
\[\int {\frac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}dx} \]
poniamo $4 - {x^2} = t$ e calcoliamo il differenziale di ambo i membri
\[4 - {x^2} = t\;\;\; \to \;\;\; - 2x\,dx = dt\;\;\; \to \;\;\;dx = \frac{{dt}}{{ - 2x}}\]
sostituendo nell'integrale si ha
\[\int {\frac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}dx} = \int {\frac{x}{{\sqrt t }}\frac{{dt}}{{ - 2x}}} = - \frac{1}{2}\int {\frac{1}{{\sqrt t }}dt = } - \frac{1}{2}\int {{t^{ - \frac{1}{2}}}dt = } \]
\[ = - \frac{1}{2}\frac{{{t^{ - \frac{1}{2} + 1}}}}{{ - \frac{1}{2} + 1}} = - \frac{1}{2}\frac{{{t^{\frac{1}{2}}}}}{{\frac{1}{2}}} = - {t^{\frac{1}{2}}} = - \sqrt t = - \sqrt {4 - {x^2}} + c\]
Analogamente si procede con l'altro integrale ponendo ${x^2} + 2 = t$ ... prova a fare lo svolgimento con questo secondo metodo e posta la soluzione ... vedrai che ti sarà molto più facile arrivare al risultato.

Saluti.

[giuliol]

Molte grazie Ing. Schirinzi,
Nel testo specificava di non utilizzare la sostituzione e ammetto che non sò se ci sarei mai arrivato!
Per intenderci in maniera informale, se posso, in questi casi NON adoperando la sostituzione dovrei sempre "far uscire" dall'integrando quel coefficiente che moltiplicato per la derivata della funzione interna mi restituisce per così dire la funzione di troppo (in questo caso la x) in modo da poterla semplificare?

[maurizio.schirinzi]

Si !! ... in generale è necessario inventarsi tutte le "manipolazioni" e "aggiustamenti" possibili e, purtroppo, non sempre immediati da immaginare per poter ottenere l'espressione di un integrale cosiddetto "quasi immediato".

Tuttavia una osservazione importante da fare è che la maggior parte degli integrali che molti insegnanti e libri di testo riportano come "formule immediate", cioè integrali del tipo "bla bla" o del tipo "bli bli" in realtà sono state dimostrate e giustificate nella teoria proprio con la tecnica di sostituzione (che altro non è che una specie di teorema di integrazione delle funzioni composte!); pertanto bisognerebbe chiamarli "integrali immediati per sostituzione" (o speciali per sostituzione), nel senso che la sostituzione è banale ed è sempre la stessa, piuttosto che formule di integrazione immediata!

Ecco un esempio tipico di una classica formula immediata:
\[\int {\frac{{g'(x)}}{{g(x)}}dx} = \ln (g(x)) + c\]
dimostriamola con la tecnica di sostituzione imponendo la sostituzione ovvia $g(x) = t$
\[g(x) = t\;\;\; \to \;\;\;g'(x)dx = dt\;\;\; \to \;\;\;dx = \frac{{dt}}{{g'(x)}}\]
\[\int {\frac{{g'(x)}}{{g(x)}}dx} = \int {\frac{{g'(x)}}{t}\frac{{dt}}{{g'(x)}}} = \int {\frac{1}{t}dt} = \ln (t) = \ln (g(x)) + c\]

Saluti.

[giuliol]

Davvero tutto molto chiaro!
Già che ho l'opportunità le espongo anche lo stesso quesito circa un paio di integrali (a detta del mio testo immediati) con funzioni logaritmiche:

\[\int \frac{ln^3x}{x} dx\]

o ancora

\[\int \frac{2lnx-2+\sqrt{3}}{2x} dx\]

Quali tecniche eseguire se non si può ricorrere alla sostituzione?

[maurizio.schirinzi]

Ciao,
\[\int {\frac{{{{\ln }^3}(x)}}{x}} \,dx\]
questo primo integrale è un'altro integrale detto del tipo (io lo chiamo integrale "speciale" per sostituzione)
\[\int {{{(g(x))}^\alpha }g'(x)\,dx} = \frac{{{{(g(x))}^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + c\;\;\;\;(sost.\;\;g(x) = t)\]
infatti con gli opportuni aggiustamenti si ha
\[\int {\frac{{{{\ln }^3}(x)}}{x}} \,dx = \int {{{\ln }^3}(x)\frac{1}{x}dx} \, = \frac{1}{4}\int {4{{\ln }^3}(x)\frac{1}{x}dx} = \frac{1}{4}{\ln ^4}(x) + c\]
ma si poteva arrivare allo stesso risultato con l'ovvia sostituzione $\ln (x) = t$

per il secondo integrale è sufficiente spezzarlo per decomposzione della frazione per arrivare ancora ad un integrale del tipo sopra + un integrale immediato:
\[\int {\frac{{2\ln (x) - 2 + \sqrt 3 }}{{2x}}} \,dx\, = \int {\frac{{2\ln (x)}}{{2x}}} \,dx\, + \int {\frac{{ - 2 + \sqrt 3 }}{{2x}}dx} \, = \]
\[ = \frac{1}{2}\int {2\ln (x)\frac{1}{x}dx} \, + (\frac{{\sqrt 3 - 2}}{2})\int {\frac{1}{x}dx = } \frac{1}{2}{\ln ^2}(x) + \frac{{\sqrt 3 - 2}}{2}\ln (x) + c\]

Saluti.

PS: Ti prego di non postare più esercizi in uno stesso topic ma di aprire sempre un topic diverso per ogni esercizio o quesito! Grazie.