Limite complesso

[nuccio88]

Ciao, come si calcola il limite per z tendente a infinito di un esponenziale avente per esponente arg(z), dove z è ovviamente una variabile complessa? E se invece la z tende a zero? Negli esercizi svolti vedo che il limite viene posto uguale a zero senza passaggi.

[maurizio.schirinzi]

Ciao, il limite
\[\mathop {\lim }\limits_{z \to \infty } {e^{Arg(z)}}\]
va calcolato con le stesse tecniche delle funzioni di 2 variabili; ricordando infatti che
\[z = x + iy\]
\[Arg(z) = Arg(x + iy) = \left\{ \begin{array}{l}
arctg(\frac{y}{x})\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x > 0\\
arctg(\frac{y}{x}) + \pi \;\;\;\;\;x < 0
\end{array} \right.\]
allora possiamo scrivere
\[\mathop {\lim }\limits_{z \to \infty } {e^{Arg(z)}} = \mathop {\lim }\limits_{(x,y) \to \infty } {e^{Arg(x + iy)}} = \left\{ \begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty ,y \to \infty } {e^{arctg(\frac{y}{x})}} = *\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty ,y \to \infty } {e^{arctg(\frac{y}{x}) + \pi }} = **
\end{array} \right.\]
è facile rendersi conto che questo limite non può esistere perchè il calcolo deve essere indipendente dal percorso con cui le due variabili tendono ad infinito! ... scegliendo infatti ad esempio come percorso quello lungo una retta y=mx si ha:
\[* = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty ,y \to \infty } {e^{arctg(\frac{y}{x})}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {e^{arctg(\frac{{mx}}{x})}} = {e^{arctg(m)}}\]
che come si vede ha un risultato che dipende dalla direzione m del coefficiente angolare della retta lungo la quale muoviamo le variabili nel tendere ad infinito; analogamente per l'altro limite ** che risulta tra l'altro ancora diverso per la presenza di pi-grego
\[** = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty ,y \to \infty } {e^{arctg(\frac{y}{x}) + \pi }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {e^{arctg(\frac{{mx}}{x}) + \pi }} = {e^{arctg(m) + \pi }}\]

Analoghe considerazioni valogono se z tende a zero; il calcolo del limite per esistere deve sempre essere indipendente dal percorso, per quanto è stato detto relativamente ai limiti delle funzioni di 2 variabili!

Saluti.


PS: Ancora una volta hai aperto un topic nella categoria sbagliata. Si tratta di Analisi 2 e limiti di funzioni complesse!! ... Ti prego di fare più attenzione a rispettare il regolamento del Forum. Lo User Admin sposterà il topic nella categoria più appropriata.