Integrale lungo una semicirconferenza con il teorema dei residui

[nuccio88]

Ciao, se ho un integrale lungo una semicirconferenza percorsa in senso orario centrata sullo zero e delle singolarità lungo l'asse reale, che salto facendo dei piccoli semicerchi, in che modo posso scomporre questo dominio regolare e quindi anche l'integrale di partenza come somma di più integrali? Guardando degli esercizi svolti non mi è chiaro il modo in cui si attribuisce il segno positivo o negativo a questi ultimi. L'intenzione era quella di applicare poi il teorema dei residui (che prevede che il senso di percorrenza positivo sia quello antiorario)... Riesco ad applicarlo solo se si lavora sul semipiano positivo.

[maurizio.schirinzi]

Ciao, ecco un dispensa chiara e completa (con esempi) su tutte le questioni del teorema dei residui e il suo uso nel calcolo degli integrali del tipo da te richiesto:

Teorema dei Residui e Calcolo di Integrali Complessi


Altri esercizi svolti li trovi qui:

Integrali Complessi - Esercizi Svolti

Saluti.


PS: Questo topic non è nella giusta categoria! ... Si tratta di Integrali Complessi (Analisi 2) !! ... Lo User Admin provvederà allo spostamento del topic nella più appropriata categoria.

[nuccio88]

Maurizio ma il procedimento per risolvere questi integrali l'ho capito. Avevo soltanto il dubbio che sopra ho esposto. E nelle dispense che mi hai indicato non c'è la risposta al mio quesito! Mi interessava soltanto il caso in cui lavoro su una semicirconferenza nel semipiano inferiore e devo scomporre l'integrale curvilineo in più integrali, considerando il verso di percorrenza orario. Potresti per favore rispondermi senza rimandarmi alle dispense?

[maurizio.schirinzi]

Non capisco bene la tua domanda! ... potresti precisare meglio con un esempio di svolgimento (usando equation editor) tutti i tuoi dubbi del caso? Grazie.

Ti ricordo che il verso di percorrenza su una curva è l'equivalente del verso di percorrenza dell'integrale in un intervallo di R dove vale la solita proprietà:

\[\int\limits_a^b {f(x)dx} = - \int\limits_b^a {f(x)dx} \]

quindi se percorri una curva nel senso convenzionale della definizione (antiorario=positivo) l'integrale va considerato senza segno, mentre se percorri la curva in verso opposto alla convenzione (orario) dovrai mettere un meno davanti all'integrale! ... E' questo il tuo dubbio?

Saluti.