Funzione olomorfa

[nuccio88]

Ciao, se mi trovo davanti a un integrale e voglio verificare che la funzione sia olomorfa per poter applicare poi il teorema dei residui, devo necessariamente controllare le condizioni di Cauchy Riemann oppure c'è un altro modo più veloce?

[maurizio.schirinzi]

Si !! ... dovresti controllare le condizioni di Cauchy-Riemann o equivalentemente la derivata complessa rispetto al coniugato (su Wikipedia qualcuno la chiama Derivata di Wirtinger):

Funzione Olomorfa e Condizioni di Cauchy-Riemann

Comunque, poichè di solito negli esercizi si ha sempre a che fare ovviamente con funzioni olomorfe, se non è richiesta esplicitamente la verifica delle condizioni di Cauchy-Riemann, puoi procedere direttamente con il calcolo dei residui.

Ti consiglio inoltre un'utile lettura delle prime pagine della seguente dispensa dove vengono dettagliatamente spiegate e dimostrate le condizioni di Cauchy-Riemann e anche l'equivalente condizione suddetta:

Funzioni Olomorfe e Teorema di Cauchy


Saluti.

[nuccio88]

Ciao, potresti elencarmi le funzioni elementari olomorfe? Basta conoscere queste ultime per poter affermare, dinanzi ad una funzione, che essa è olomorfa, essendo combinazione di funzioni elementari olomorfe?

[maurizio.schirinzi]

Le funzioni olomorfe elementari (o analitiche) in campo complesso sono le solite equivalenti di quelle elementari in campo reale con le opportune considerazioni e restrizioni viste nella teoria e riassunte al seguente link Wikipedia:

Analisi Complessa - Funzioni Elementari

In generale la somma e il prodotto di due funzioni olomorfe (o analitiche) sono ancora funzioni olomorfe, mentre il rapporto è olomorfo dove non si annulla il denominatore; inoltre la composizione di due funzioni olomorfe è ancora olomorfa nell'aperto in cui è definita.


Saluti.