Integrale curvilineo di funzione di variabile complessa

[nuccio88]

Ciao, ho il seguente integrale curvilineo, da calcolare sulla circonferenza C unitaria di centro l'origine:

$\int \frac{\sin \left(\frac{1}{z}\right)}{e^{1/z}} \, dz$

Credo che si possa risolvere sfruttando il teorema dei residui. Ma, per poterlo applicare, prima dovrei verificare che la funzione integranda sia olomorfa. Giusto? Devo applicare le condizione di Cauchy Riemann oppure, dato che ho un seno e un'esponenziale, posso dire subito che la funzione è olomorfa? In altre parole, la combinazione di funzioni olomorfe, è ancora una funzione olomorfa?

Riguardo alle singolarità, in questo caso ho solo z=0. Giusto? Ma devo ora classificare questa singolarità (fittizia-polo-essenziale) per capire quale formula del calcolo del residuo utilizzare? Se z=0 è un polo mi serve conoscere la sua molteplicità ... in questo caso come la trovo?

Alla fine il risultato finale sarà 2$\pi$i*Res(f,0)? Dove Res(f,0) lo calcolo a seconda di come viene classificata la singolarità z=0?

Se possibile mi piacerebbe vedere i calcoli così da potermi poi esercitare con altri esercizi simili. Grazie.

[maurizio.schirinzi]

Ciao,

- SI !! ... In generale la somma e il prodotto di due funzioni olomorfe (o analitiche) sono ancora funzioni olomorfe, mentre il rapporto è olomorfo dove non si annulla il denominatore; inoltre la composizione di due funzioni olomorfe è ancora olomorfa nell'aperto in cui è definita. Quindi la tua funzione puoi considerarla olomorfa!

- Riguardo al tuo integrale, non essendo un "normale" integrale di funzioni razionali fratte, la questione è un po più complessa! ... Credo che si dovrebbe prima sviluppare in serie di Laurent la funzione (seno ed esponenziale) per ricondurla a razionale fratta per poi determinare la molteplicità del polo e quindi il relativo residuo. Al seguente link su Wikipedia ho trovato (in fondo alla pagina) un interessante spunto con un esempio di sviluppo in serie di Laurent (Serie di Laurent e residui) e successiva spiegazione di come fare a calcolare l'ordine del polo (Serie di Laurent e singolarità):

Serie di Laurent - Residui e Singolarità

Purtroppo, essendo un esercizio molto avanzato e con calcoli lunghi, non ho avuto il tempo di provare a svolgere i calcoli e a postarti tutto lo svolgimento; ma sono sicuro che, con i suddetti spunti e le tue già ottime conoscenze di argomenti cosi complessi, non dovresti avere grosse difficoltà! ... Anzi ti invito, se riesci, a postare eventualmente il tuo svolgimento, che potrebbe essere utile ad altri utenti dei corsi più avanzati come il tuo.

Saluti.

[nuccio88]

Cioè dovrei partire dalla funzione integranda, applicare gli sviluppi notevoli di Laurent e poi applicare anche il prodotto di Cauchy? E alla fine dovrei ottenere una funzione razionale fratta?

Ma quindi z =0 non posso dire che è una singolarità essendo una discontinuità della funzione?

Maurizio appena hai 5minuti di tempo per favore potresti postare almeno qualche passaggio con il risultato finale? Altrimenti anche se lo risolvo non sono nemmeno motivato non avendo poi la soluzione!

[maurizio.schirinzi]

Allora, ti darò la traccia di quello che dovresti fare ...

Sia per la funzione $sen(\frac{1}{z})$ a numeratore che per la funzione ${e^{\frac{1}{z}}}$ a denominatore, z=0 è una singolarità essenziale, come dimostrano i calcoli dello sviluppo di Laurent (essendo formato da infinite potenze negative); alla pagina 76 della seguente dispensa trovi il calcolo degli sviluppi:

Metodi Matematici per Ingegneria

Ovviamente nel tuo caso, essendoci un rapporto tra le due funzioni, devi trasformarlo in prodotto per poi applicare gli sviluppi di Laurent sui 2 fattori e quindi successivamente anche il prodotto di Cauchy, per avere finalmente lo sviluppo di Laurent della tua funzione integranda; basta riscrivere la funzione cosi:

\[\frac{{sen(\frac{1}{z})}}{{{e^{\frac{1}{z}}}}} = sen(\frac{1}{z}) \cdot {e^{ - \frac{1}{z}}}\]

dunque calcolerai lo sviluppo di $sen(\frac{1}{z})$ come nella dispensa e lo sviluppo di ${e^{ - \frac{1}{z}}}$ come nella dispensa ma con un segno meno (essendo ora l'esponente -1/z); farai poi il prodotto di Cauchy.

Alla fine dello sviluppo avrai la classificazione del punto singolare e procederai con i residui.

Scusami se non riesco ad essere più completo ma mi hai beccato in un momento di sovraccarico di lavoro! ... oltre al fatto che questi argomenti, come ti dicevo in un altro post, difficilmente verranno trattati in questo progetto, essendo tra l'altro parti di "matematica applicata avanzata" molto specifici per altre materie tecniche di ingegneria.

[nuccio88]

Grazie Maurizio. Ma quando faccio il prodotto delle serie come si fa poi ad eliminare i due simboli di serie e quindi a ottenere proprio la funzione razionale fratta? Quali proprietà si applicano? mi blocco in questo punto! C'è una tabella che elenca magari proprietà che si possono applicare in questi casi?

[maurizio.schirinzi]

Non credo tu debba "eliminare" i simboli delle serie ed ottenere la funzione razionale fratta finale!

Anche se non ci sono tabelle ma solo calcoli da fare, in realtà credo che tu debba trovare solo l'ordine del polo e il residuo direttamente dallo sviluppo di Laurent complessivo della funzione, come viene fatto nell'esempio in fondo alla pagina di Wikipedia che ti ho linkato prima:

Serie di Laurent - Residui e Singolarità

L'esempio a cui mi riferisco è:
\[f(z) = \frac{{{e^z}}}{z} + {e^{\frac{1}{z}}}\]
Prova a ragionare in quel modo e vedi cosa si riesce ad ottenere.

Personalmente non mi sono mai occupato di calcoli di questo tipo quindi, al momento, non so dirti altro.


Saluti.

[nuccio88]

Ciao, quindi non devo cercare una funzione razionale fratta da andare a sostituire a quella di partenza? Nel primo post che hai scritto avevo capito così! Quindi dovrei proprio andare a sviluppare secondo Laurent andando ad assegnare anche dei valori alle n, e cercare di capire se i coefficienti negativi di questo sviluppo si annullano tutti (punto regolare), se si annullano in parte (polo di ordine k) o se sono infiniti (sing. essenziale)? In caso di singolarità essenziale il residuo sarà il coefficiente a-1, se è fittizia sarà zero, se polo sarà a-k?

Una volta fatto questo posso applicare il teo. dei residui considerando soltanto le singolarità interne alla circonferenza.

è tutto giusto quello che ho scritto? Vorrei però sapere in quali casi dovrei procedere in questo modo? In presenza di esponenziale lo si fa sempre? Oppure lo si fa quando la funzione integranda è, ad esempio, prodotto di due funzioni di cui conosco lo sviluppo notevole di Laurent?

Inoltre, nell'esempio su Wikipedia le due funzioni vengono sommate. Mentre nel mio esercizio le due funzioni sono in prodotto. Di conseguenza, nel mio caso devo applicare il prodotto di Cauchy? Avendo non uno, ma ben due simboli di serie in successione, come faccio a trovarmi lo sviluppo come nell'esempio, visto che ci sono due indici, e non più uno solo?

[maurizio.schirinzi]

Si quello che hai scritto nella 1° parte e relativa domanda è tutto giusto !!

Riguardo alla 2° domanda non c'è una regola generale o una casistica di situazioni da schematizzare; come accade spesso in matematica ogni funzione fa di solito caso a sè, e quando si riescono a scrivere ad esempio gli sviluppi di Laurent e fare i dovuti ragionamenti si può procedere in quel modo, a patto naturalmente che non saltano fuori calcoli "mostruosi" o comunque situazioni non gestibili come nelle solite funzioni oggetto di esercizi "standard" !!

Riguardo alla 3° domanda è chiaro che il prodotto di Cauchy è più complesso da gestire rispetto alle somme e può portare a calcoli non semplici; tuttavia nel tuo caso forse potresti scrivere qualche termine dello sviluppo (sia a pedice negativo che positivo) e cercare di capire da quella parte di sviluppo l'ordine del polo e quindi il residuo, come nell'esempio di Wikipedia, proprio perchè non credo sia necessario scrivere tutto lo sviluppo completo e gestire poi le due serie in modo da arrivare poi a scrivere una funzione razionale fratta completa.


Saluti.

[nuccio88]

Maurizio ma prima hai detto che alla fine non devo trovare una funzione razionale fratta da andare a sostituire alla funzione di partenza. Ma così facendo come è possibile applicare il teorema dei residui? È come se all'interno dell'integrale avessi la serie! Non capisco! Trovare la funzione razionale significa eliminare i simboli serie e ragionare poi sulla nuova funzione. Quindi si deve trovare o no la nuova funzione razionale fratta? È giusto ragionare direttamente sullo sviluppo senza trovare la funzione razionale fratta?

[maurizio.schirinzi]

Se guardi al seguente link su Wikipedia per il calcolo dei residui con la serie di Laurent dovresti trovare la risposta alla tua domanda! ...

Calcolo Residuo con Serie di Laurent

Infatti se non sbaglio c'è scritto che il calcolo del residuo con la funzione scritta come serie di Laurent dipende dal solo termine con indice -1 !!

Leggi attentamente tutta la pagina e dovresti trovare la risposta relativamente all'integrale lungo una curva chiusa.


Saluti.