Studio del punto all'infinito

[nuccio88]

Ciao, quando mi viene chiesto di studiare eventualmente il punto all'infinito di una certa funzione dovrei prima verificare la presenza del punto all'infinito? Quale condizione dovrei verificare prima di fare lo studio vero e proprio?

[maurizio.schirinzi]

Ciao, ma studiare il punto all'infinito non vuol dire forse studiare il comportamento della funzione quando la variabile indipendente tende a infinito? ...

Quindi se per le funzioni di 1 variabile occorreva calcolare il limite:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x)\]
per le funzioni di più variabili e in particolare per quelle complesse sarà:
\[\mathop {\lim }\limits_{z \to \infty } f(z)\]


Saluti.

[nuccio88]

Ma una volta calcolato questo limite, che valori mi devo aspettare? Deve essere un valore finito o infinito? Come studiare il punto all'infinito mi è chiaro. Volevo solo sapere la condizione che si deve verificare affinché abbia senso studiare il punto all'infinito

[maurizio.schirinzi]

Che significa "che valore devi aspettarti"? ... o che "condizione affinchè abbia senso"? ...

E' come per le funzioni di una variabile: se il limite viene infinito il grafico della funzione va all'infinito, se il limite viene finito il grafico della funzione tende verso quel valore di quota finito!! ... STOP !

[nuccio88]

Ma lo studio del punto all'infinito io lo faccio sostituendo alla z 1/w. E successivamente studio la singolarità in w=zero. E da qui si deduce se ho un polo, se è un punto regolare o se è una singolarità essenziale.

Siccome il mio prof a volte nell'esercizio dice così " studiare eventualmente il punto all'infinito " ... Mi chiedevo quindi il perché dice eventualmente. Forse ci sono dei casi in cui non si può fare lo studio del punto all'infinito?

[maurizio.schirinzi]

Forse allora per studio del punto all'infinito intendi lo studio del "Residuo all'Infinito" come descritto al seguente link (in fondo alla pagina)?

Residuo (Analisi Complessa)

[nuccio88]

Ho capito. Ho letto nel formulario che condizione necessaria per lo studio del punto all'infinito è che la funzione sia olomorfa all'infinito... In altre parole non deve esserci una successione infinita di singolaritá

[maurizio.schirinzi]

Ah ... ok! ... allora avevo capito tutt'altra cosa!